При каких значениях х значение производной функции f(x)=2x^3-3x^2-12x+1 равно 0 ?

Чтобы найти значения ( x ), при которых производная функции ( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 ) равна 0, сначала найдем производную ( f'(x) ):

[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 ]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 ]

Упростим уравнение, разделив его на 6:

[ x^2 - x - 2 = 0 ]

Теперь факторизуем его:

[ (x - 2)(x + 1) = 0 ]

Таким образом, получаем корни:

[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -1 ]

Значения ( x ), при которых производная функции равна 0: ( x = 2 ) и ( x = -1 ).

Чтобы найти значения ( x ), при которых производная функции ( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 ) равна нулю, необходимо сначала вычислить производную этой функции.

1. Вычисление производной: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x) + \frac{d}{dx}(1) ] Применяя правила дифференцирования, получаем: [ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 ]

2. Приравнивание производной к нулю: Теперь мы решаем уравнение: [ 6x^2 - 6x - 12 = 0 ] Упростим его, разделив на 6: [ x^2 - x - 2 = 0 ]

3. Решение квадратного уравнения: Для решения квадратного уравнения ( x^2 - x - 2 = 0 ) можно использовать формулу корней: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] Здесь ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ). Подставим значения: [ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm 3}{2} ] Это дает два решения: [ x_1 = \frac{4}{2} = 2 ] [ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

4. Ответ: Таким образом, значения ( x ), при которых производная функции ( f(x) ) равна нулю, это ( x = 2 ) и ( x = -1 ).

5. Дополнительные замечания: Найденные значения ( x ) могут быть точками локальных максимумов, минимумов или седловыми точками. Чтобы определить, каким образом ведет себя функция в этих точках, можно провести анализ знака производной на интервалах, содержащих найденные корни, или использовать вторую производную.

   Если вам нужно больше информации о поведении функции в этих точках или визуализация графика, дайте знать!

Для ответа на вопрос необходимо найти такие значения ( x ), при которых производная функции ( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 ) равна нулю.

1. Найдём производную функции ( f(x) ):

Применим правила дифференцирования:

• Производная от ( x^n ) равна ( n \cdot x^{n-1} ).
• Производная от константы равна ( 0 ).

Производная данной функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx} \big( 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \big) = 6x^2 - 6x - 12 ]

2. Решим уравнение ( f'(x) = 0 ):

Подставим ( f'(x) ) в это уравнение: [ 6x^2 - 6x - 12 = 0 ]

Упростим уравнение, разделив все его члены на 6: [ x^2 - x - 2 = 0 ]

3. Найдём корни квадратного уравнения:

Для нахождения корней квадратного уравнения ( x^2 - x - 2 = 0 ) воспользуемся формулой: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ).

Подставим значения коэффициентов: [ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 ]

4. Ответ:

Производная функции ( f(x) ) равна нулю при ( x = 2 ) и ( x = -1 ).

Проверка:

Подставим ( x = 2 ) и ( x = -1 ) в производную ( f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 ):

• Для ( x = 2 ): [ f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) - 12 = 6 \cdot 4 - 12 - 12 = 24 - 24 = 0 ]
• Для ( x = -1 ): [ f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) - 12 = 6 \cdot 1 + 6 - 12 = 6 + 6 - 12 = 0 ]

Итак, всё верно. Производная равна нулю при ( x = 2 ) и ( x = -1 ).