При каких значениях праметров а и b многочлен f(x)=4х^4-16x^3+3x^2+ax+b делится без остатка на многочлен g(x)=x^2-4x+1?
При каких значениях праметров а и b многочлен f(x)=4х^4-16x^3+3x^2+ax+b делится без остатка на многочлен g(x)=x^2-4x+1?
Чтобы многочлен f(x) делится без остатка на многочлен g(x), необходимо, чтобы остаток от деления f(x) на g(x) был равен нулю.
Для начала найдем частное от деления f(x) на g(x), используя синтетическое деление: 4x^4 - 16x^3 + 3x^2 + ax + b : x^2 - 4x + 1
Первый шаг: 4x^2 + 4x - 15
Второй шаг: 16x^3 - 64x^2 + 16x 16x^3 - 64x^2 + 16x
64x^2 - 13x + b
Для того чтобы остаток от деления был равен нулю, коэффициенты при степенях x должны быть равны нулю: 64 - 13 = 0 b = 0
Таким образом, при значениях параметров a и b, равных 0, многочлен f(x) = 4x^4 - 16x^3 + 3x^2 делится без остатка на многочлен g(x) = x^2 - 4x + 1.
Многочлен f(x) делится без остатка на многочлен g(x) при значениях параметров a = 8 и b = -9.
Чтобы определить значения параметров ( a ) и ( b ), при которых многочлен ( f(x) = 4x^4 - 16x^3 + 3x^2 + ax + b ) делится без остатка на многочлен ( g(x) = x^2 - 4x + 1 ), нужно воспользоваться теоремой о делении многочленов. В этом случае ( g(x) ) является делителем ( f(x) ), что означает, что ( g(x) ) делит ( f(x) ) нацело и остаток от деления равен нулю.
Для этого мы воспользуемся методом сравнения коэффициентов. Если ( f(x) ) делится на ( g(x) ), то ( f(x) ) можно записать как: [ f(x) = (x^2 - 4x + 1) \cdot Q(x) ] где ( Q(x) ) — это многочлен степени 2, который можно записать в общем виде как: [ Q(x) = dx^2 + ex + f ]
Теперь нужно перемножить ( g(x) ) и ( Q(x) ) и приравнять получившийся многочлен к ( f(x) ).
Перемножим: [ (x^2 - 4x + 1)(dx^2 + ex + f) = d x^4 + e x^3 + f x^2 - 4d x^3 - 4e x^2 - 4f x + d x^2 + e x + f ]
Соберём подобные члены: [ d x^4 + (e - 4d) x^3 + (f - 4e + d) x^2 + (-4f + e) x + f ]
Приравниваем коэффициенты у одноимённых степеней многочленов ( f(x) ) и ( (x^2 - 4x + 1) \cdot Q(x) ): [ 4x^4 - 16x^3 + 3x^2 + ax + b = d x^4 + (e - 4d) x^3 + (f - 4e + d) x^2 + (-4f + e) x + f ]
Теперь у нас есть система уравнений:
Решим эту систему уравнений последовательно.
Из первого уравнения: [ d = 4 ]
Подставляем ( d = 4 ) во второе уравнение: [ e - 4 \cdot 4 = -16 ] [ e - 16 = -16 ] [ e = 0 ]
Подставляем ( d = 4 ) и ( e = 0 ) в третье уравнение: [ f - 4 \cdot 0 + 4 = 3 ] [ f + 4 = 3 ] [ f = -1 ]
Подставляем ( e = 0 ) и ( f = -1 ) в четвёртое уравнение: [ -4(-1) + 0 = a ] [ 4 = a ]
Из пятого уравнения: [ f = b ] [ -1 = b ]
Таким образом, значения параметров ( a ) и ( b ), при которых многочлен ( f(x) ) делится без остатка на многочлен ( g(x) ), равны: [ a = 4 ] [ b = -1 ]
