При каких значениях x имеет смысл выражение 2/√3x^2-12x срочно помогите пожалуйста

Чтобы определить, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{2}{\sqrt{3x^2-12x}}$, нужно рассмотреть два условия:

1. Знаменатель не должен равняться нулю. Это значит, что $\sqrt{3x^2-12x}\ne 0$.
2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть $3x^2-12x\ge 0$.

Начнем с второго условия:

1. Найдем, при каких $x$ выражение $3x^2-12x$ неотрицательно.

Решим неравенство: $3x^2-12x\ge 0$ Для этого можно вынести общий множитель: $3x(x-4)\ge 0$

Теперь найдем нули этого выражения. Это происходит, когда: $3x=0\text{или}x-4=0$ То есть, нули: $x=0$ и $x=4$.

Теперь определим знаки на промежутках, образованных этими числами: $(-\mathrm{\infty },0$ ), $(0,4$ ), и $(4,+\mathrm{\infty }$ ).

• Для $x<0$ $например,(x=-1$): $3(-1)(-1-4)=3(-1)(-5)=15>0$
• Для $0<x<4$ $например,(x=1$): $3(1)(1-4)=3(1)(-3)=-9<0$
• Для $x>4$ $например,(x=5$): $3(5)(5-4)=3(5)(1)=15>0$

Таким образом, неравенство $3x(x-4$ \geq 0 ) выполняется на промежутках: $(-\mathrm{\infty },0$ \cup $4,+\mathrm{\infty })$

2. Теперь рассмотрим, когда знаменатель не равен нулю.

Знаменатель равен нулю, когда: $\sqrt{3x^2-12x}=0$ Это происходит, когда $3x^2-12x=0$. Мы уже нашли, что нули в точках $x=0$ и $x=4$.

3. Объединим условия.

Итак, учитывая, что $\sqrt{3x^2-12x}$ должно быть не отрицательным, и также не равным нулю, мы определяем, что:

• $x$ может принимать значения из промежутков $(-\mathrm{\infty },0$ ) и $(4,+\mathrm{\infty }$ ).

Таким образом, выражение $\frac{2}{\sqrt{3x^2-12x}}$ имеет смысл для: $x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (4,+\mathrm{\infty })$

Чтобы выяснить, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{2}{\sqrt{3x^2-12x}}$, нужно учитывать область определения выражения. Основные ограничения накладываются на знаменатель и подкоренное выражение:

1. Знаменатель выражения не может быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно.
2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть больше нуля, так как квадратный корень из отрицательного числа не определён в области действительных чисел.

Разберем по порядку:

Шаг 1. Подкоренное выражение

Подкоренное выражение — это $3x^2-12x$. Оно должно быть строго больше нуля: $3x^2-12x>0$

Шаг 2. Вынесем общий множитель

Упрощаем неравенство, вынеся общий множитель $3x$ за скобки: $3x(x-4)>0$

Шаг 3. Решение неравенства

Теперь решаем неравенство $3x(x-4$ > 0 ). Для этого определим промежутки, на которых данное выражение положительно.

1. Рассмотрим нулевые точки $корниуравнения(3x(x-4$ = 0 )): $3x=0\text{или}x-4=0$ Таким образом, $x=0$ и $x=4$ — это точки, где выражение обращается в ноль.

2. Рассмотрим знаки выражения на промежутках, которые определяются этими корнями:

   • $(-\mathrm{\infty },0$ ),
   • $(0,4$ ),
   • $(4,+\mathrm{\infty }$ ).

Для удобства используем метод интервалов:

• Знаки определяются по множителям $3x$ и $(x-4$ ).
• $3x$ меняет знак на точке $x=0$ $отрицателенпри(x<0$, положителен при $x>0$).
• $(x-4$ ) меняет знак на точке $x=4$ $отрицателенпри(x<4$, положителен при $x>4$).

Составляем таблицу знаков:

Из таблицы видно, что выражение $3x(x-4$ > 0 ) выполняется на промежутках: $x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (4,+\mathrm{\infty })$

Шаг 4. Окончательный ответ

Область определения исходного выражения: $x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (4,+\mathrm{\infty })$

Итак, выражение $\frac{2}{\sqrt{3x^2-12x}}$ имеет смысл при всех $x$, принадлежащих промежуткам $(-\mathrm{\infty },0$ \cup $4,+\mathrm{\infty }$ ).

Чтобы выражение $\frac{2}{\sqrt{3x^2-12x}}$ имело смысл, знаменатель не должен быть равен нулю и должен быть положительным.

1. Для этого необходимо, чтобы $3x^2-12x>0$.
2. Выразим неравенство: $3x(x-4$ > 0 ).

Решим это неравенство. Корни: $x=0$ и $x=4$. Рассмотрим интервалы:

• $(-\mathrm{\infty },0$ ): здесь $3x(x-4$ < 0 )
• $(0,4$ ): здесь $3x(x-4$ < 0 )
• $(4,+\mathrm{\infty }$ ): здесь $3x(x-4$ > 0 )

Таким образом, выражение имеет смысл при $x\in (4,+\mathrm{\infty }$ ).