При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. после ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго - в 1,6 раза, и при одновременной работе обоих насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За сколько минут наполняется бассейн при работе только первого насоса после ремонта?
Пусть первый насос наполняет бассейн за x минут. Тогда второй насос наполняет бассейн за ( \frac{8x}{6} = \frac{4x}{3} ) минут. После увеличения производительности первого насоса, его время наполнения стало ( \frac{x}{1.2} ) минут. Тогда уравнение будет: [ \frac{x}{1.2} + \frac{4x}{3} = 6 ] [ \frac{3x + 4x}{31.2} = 6 ] [ \frac{7x}{31.2} = 6 ] [ \frac{7x}{3} = 6*1.2 ] [ 7x = 18 ] [ x = \frac{18}{7} ] [ x \approx 2.57 ]
Значит, бассейн наполняется первым насосом после ремонта за примерно 2 минуты и 34 секунды.
Для решения задачи введем обозначения и используем алгебраические уравнения.
Пусть ( x ) и ( y ) — это время, необходимое для наполнения бассейна первым и вторым насосом, соответственно, до ремонта. Тогда их производительности будут равны ( \frac{1}{x} ) и ( \frac{1}{y} ) бассейнов в час.
При одновременной работе двух насосов бассейн наполняется за 8 часов, то есть их совместная производительность составляет ( \frac{1}{8} ) бассейнов в час. Это можно записать уравнением:
[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} ]
После ремонта производительность первого насоса увеличилась в 1,2 раза, а второго — в 1,6 раза. Значит, их новые производительности равны ( \frac{1,2}{x} ) и ( \frac{1,6}{y} ) бассейнов в час, соответственно.
Теперь при одновременной работе двух насосов бассейн наполняется за 6 часов, то есть их совместная производительность составляет ( \frac{1}{6} ) бассейнов в час. Это можно записать уравнением:
[ \frac{1,2}{x} + \frac{1,6}{y} = \frac{1}{6} ]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} ]
[ \frac{1,2}{x} + \frac{1,6}{y} = \frac{1}{6} ]
Решим эту систему. Преобразуем первое уравнение:
[ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{y} ]
Подставим это выражение во второе уравнение:
[ 1,2 \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{y} \right) + \frac{1,6}{y} = \frac{1}{6} ]
Раскроем скобки и упростим:
[ \frac{1,2}{8} - \frac{1,2}{y} + \frac{1,6}{y} = \frac{1}{6} ]
[ \frac{1,2}{8} + \left( \frac{1,6}{y} - \frac{1,2}{y} \right) = \frac{1}{6} ]
[ \frac{1,2}{8} + \frac{0,4}{y} = \frac{1}{6} ]
[ \frac{0,15}{1} + \frac{0,4}{y} = \frac{1}{6} ]
Теперь умножим все уравнение на 24, чтобы избавиться от дробей:
[ 24 \cdot 0,15 + 24 \cdot \frac{0,4}{y} = 24 \cdot \frac{1}{6} ]
[ 3,6 + \frac{9,6}{y} = 4 ]
Вычтем 3,6 из обеих частей уравнения:
[ \frac{9,6}{y} = 0,4 ]
Теперь умножим обе части на ( y ):
[ 9,6 = 0,4y ]
Разделим обе части на 0,4:
[ y = \frac{9,6}{0,4} = 24 ]
Теперь подставим значение ( y ) в первое уравнение:
[ \frac{1}{x} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8} ]
Вычтем (\frac{1}{24}) из обеих сторон:
[ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} ]
Приведем к общему знаменателю:
[ \frac{1}{x} = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} ]
Следовательно:
[ x = 12 ]
Теперь рассмотрим ситуацию после ремонта. Производительность первого насоса после ремонта увеличилась в 1,2 раза, значит время, за которое он наполняет бассейн, уменьшилось в ( \frac{1}{1,2} ) раз:
[ x_{\text{новый}} = \frac{12}{1,2} = 10 \text{ часов} ]
Переведем это время в минуты:
[ 10 \text{ часов} \times 60 \text{ минут/час} = 600 \text{ минут} ]
Таким образом, бассейн наполняется при работе только первого насоса после ремонта за 600 минут.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулой скорости работы насоса, которая равна произведению его мощности на время работы.
Обозначим мощность первого насоса до ремонта как P1, мощность второго насоса до ремонта как P2, время работы при одновременной работе обоих насосов как t1, время работы только первого насоса после ремонта как t2.
Из условия задачи мы знаем, что:
P1 t1 + P2 t1 = 1 (бассейн наполняется за 8 часов одновременной работой двух насосов)
1.2 P1 t2 + 1.6 P2 t2 = 1 (бассейн наполняется за 6 часов одновременной работой обоих насосов)
Также известно, что t2 - время работы первого насоса после ремонта.
Решив данную систему уравнений, мы найдем значение t2, которое покажет, за сколько минут бассейн наполняется при работе только первого насоса после ремонта.
