Приведите пример трехзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и на 7 дает в остатке...

Для того чтобы найти трехзначное натуральное число, которое при делении на 3, на 5 и на 7 дает в остатке 2, и в записи которого есть только две различные цифры, воспользуемся следующей стратегией:

1. Условие делимости:

   • Пусть наше число обозначено как ( N ).
   • ( N \equiv 2 \pmod{3} )
   • ( N \equiv 2 \pmod{5} )
   • ( N \equiv 2 \pmod{7} )

   Эти условия означают, что ( N-2 ) должно быть кратно наименьшему общему кратному чисел 3, 5 и 7. Находим НОК(3, 5, 7):

   [ \text{НОК}(3, 5, 7) = 3 \times 5 \times 7 = 105. ]

   Следовательно, ( N - 2 = 105k ), где ( k ) — некоторое целое число. Отсюда ( N = 105k + 2 ).

2. Трехзначное число:

   • ( 100 \leq N \leq 999 ).

   • Подставляем это условие в уравнение:

     [ 100 \leq 105k + 2 \leq 999 ]

     Упрощая, получаем:

     [ 98 \leq 105k \leq 997 ]

     [ \frac{98}{105} \leq k \leq \frac{997}{105} ]

     Это дает:

     [ 0.933 \leq k \leq 9.49 ]

     Так как ( k ) должно быть целым, то возможные значения ( k ) — от 1 до 9.

3. Две различные цифры:

   • Рассмотрим каждое значение ( k ) от 1 до 9, и найдем ( N ).

   Для ( k = 1 ):

   [ N = 105 \times 1 + 2 = 107 \quad (\text{не подходит, так как цифры 1, 0, 7}) ]

   Для ( k = 2 ):

   [ N = 105 \times 2 + 2 = 212 \quad (\text{подходит, так как цифры 2 и 1}) ]

   Для ( k = 3 ):

   [ N = 105 \times 3 + 2 = 317 \quad (\text{не подходит, так как цифры 3, 1, 7}) ]

   И так далее для других ( k ).

Таким образом, подходящее число — это 212. Оно удовлетворяет всем условиям задачи: число трехзначное, при делении на 3, 5 и 7 дает в остатке 2, и состоит из двух различных цифр — 2 и 1.

Пусть искомое число представляется в виде (abc), где (a), (b), (c) - цифры числа. Тогда по условию задачи имеем систему сравнений:

[ \begin{cases}

abc \equiv 2 \pmod{3} \\
abc \equiv 2 \pmod{5} \\
abc \equiv 2 \pmod{7}

\end{cases} ]

Из первого условия следует, что сумма цифр числа (a + b + c) должна быть равна 2 или 5 (2, так как число трехзначное). Из второго условия следует, что число заканчивается на 2 или 7, так как (abc) делится на 5. Из третьего условия следует, что число делится на 7.

Проанализируем возможные варианты:

1. Если сумма цифр числа равна 2 ((a + b + c = 2)), то возможными вариантами являются: (002), (020), (200). Однако, эти числа не удовлетворяют условию о том, что в числе должны быть только две различные цифры.

2. Если сумма цифр числа равна 5 ((a + b + c = 5)), то возможными вариантами являются: (014), (041), (104), (140), (203), (230). Подставим их поочередно в систему сравнений и увидим, что единственным подходящим числом является 104.

Проверим:

(104 \div 3 = 34 \, (остаток \, 2))

(104 \div 5 = 20 \, (остаток \, 4))

(104 \div 7 = 14 \, (остаток \, 6))

Таким образом, искомое число - 104.