Простейшие тригонометрические уравнения Решите уравнение: Ctg x/2= -корень3

Для решения уравнения Ctg(x/2) = -√3, сначала найдем значение тангенса угла x/2. Так как ctg(x/2) = 1/tg(x/2), то tg(x/2) = -1/√3 = -√3/3.

Теперь мы знаем, что tg(x/2) = -√3/3. Тангенс угла x/2 равен отношению противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, поэтому можем представить это как отношение координат точки на единичной окружности. Таким образом, мы можем представить тангенс как sin/cos: tg(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = -√3/3.

Зная, что sin(x/2) = -√3, а cos(x/2) = 3, мы можем найти значение синуса и косинуса угла x/2. Теперь, используя формулы синуса и косинуса угла суммы, мы можем найти значения синуса и косинуса угла x.

sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2) = 2 (-√3) 3 = -6√3, cos(x) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 3^2 - (-√3)^2 = 9 - 3 = 6.

Таким образом, sin(x) = -6√3 и cos(x) = 6. Мы можем проверить наши ответы, используя тригонометрическую формулу ctg(x) = cos(x)/sin(x). Подставив найденные значения sin(x) и cos(x), мы получаем ctg(x) = 6 / (-6√3) = -√3, что подтверждает наше решение.

Итак, угол x равен -6π/3 или -120°.

Для решения уравнения (\cot\left(\frac{x}{2}\right) = -\sqrt{3}) воспользуемся основными свойствами тригонометрических функций.

1. Вспомним определение котангенса:

   [ \cot y = \frac{\cos y}{\sin y} ]

2. Найдем значение угла ( y ), для которого котангенс равен (-\sqrt{3}):

   Значение (\cot y = -\sqrt{3}) соответствует углу ( y = \frac{5\pi}{6} + \pi k ) или ( y = \frac{7\pi}{6} + \pi k ), где ( k ) — целое число. Это связано с периодичностью котангенса, который повторяется через (\pi).

3. Переходим к нашему уравнению:

   [ \cot\left(\frac{x}{2}\right) = -\sqrt{3} ]

   Это значит, что:

   [ \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + \pi k \quad \text{или} \quad \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} + \pi k ]

4. Решим эти уравнения для ( x ):

   • Для первого случая:

     [ \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + \pi k ]

     Умножим обе стороны на 2:

     [ x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k ]

   • Для второго случая:

     [ \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} + \pi k ]

     Умножим обе стороны на 2:

     [ x = \frac{7\pi}{3} + 2\pi k ]

Таким образом, общее решение уравнения (\cot\left(\frac{x}{2}\right) = -\sqrt{3}) имеет вид:

[ x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{3} + 2\pi k, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} ]

Можно записать решение в более компактной форме:

[ x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{3} + 2\pi k, \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} ]

Это все возможные значения ( x ), при которых (\cot\left(\frac{x}{2}\right) = -\sqrt{3}).