Расстояние между двумя пристанями по реке равно 80 км. Катер прошёл от одной пристани до другой ,сделал...

Обозначим скорость течения реки как ( v ) км/ч.

Скорость катера по течению будет ( 18 + v ) км/ч, а против течения ( 18 - v ) км/ч.

Расстояние в одну сторону — 80 км. Время в пути от пристани до пристани:

• По течению: ( t_1 = \frac{80}{18 + v} )
• Против течения: ( t_2 = \frac{80}{18 - v} )

Время в пути туда и обратно:

[ t_1 + t_2 + 1 \frac{1}{3} = 10 \frac{1}{3} \text{ часов} ]

Переведём все в часы:

[ t_1 + t_2 + \frac{4}{3} = \frac{31}{3} ]

Следовательно:

[ t_1 + t_2 = \frac{31}{3} - \frac{4}{3} = \frac{27}{3} = 9 \text{ часов} ]

Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):

[ \frac{80}{18 + v} + \frac{80}{18 - v} = 9 ]

Умножим на ( (18 + v)(18 - v) ):

[ 80(18 - v) + 80(18 + v) = 9(18^2 - v^2) ]

Упростим:

[ 1440 = 9(324 - v^2) ]

Решим уравнение:

[ 1440 = 2916 - 9v^2 ] [ 9v^2 = 2916 - 1440 ] [ 9v^2 = 1476 ] [ v^2 = 164 ] [ v = \sqrt{164} \approx 12.81 \text{ км/ч} ]

Таким образом, скорость течения реки примерно равна 12.81 км/ч.

Давайте обозначим:

• скорость катера в стоячей воде как ( v_k = 18 ) км/ч,
• скорость течения реки как ( v_t ) км/ч,
• расстояние между пристанями как ( L = 80 ) км.

Когда катер движется по течению реки, его скорость будет равна ( v_k + v_t ), а когда он движется против течения — ( v_k - v_t ).

1. Время в пути

Для нахождения времени, затраченного на движение, используем формулу:

[ t = \frac{S}{V} ]

где ( t ) — время, ( S ) — расстояние, ( V ) — скорость.

Время в пути вниз по течению

Время, затраченное на путь вниз по течению:

[ t_1 = \frac{L}{v_k + v_t} = \frac{80}{18 + v_t} ]

Время в пути вверх по течению

Время, затраченное на путь вверх по течению:

[ t_2 = \frac{L}{v_k - v_t} = \frac{80}{18 - v_t} ]

2. Общее время путешествия

Общее время путешествия включает время в пути вниз, время в пути вверх и время на стоянку. Соответственно, у нас есть:

[ t_1 + t2 + t{стоя} = 10 \text{ ч } 20 \text{ мин} ]

Конвертируем 10 ч 20 мин в часы:

[ 10 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 10 + \frac{20}{60} = 10 + \frac{1}{3} = \frac{31}{3} \text{ ч} ]

Время на стоянку:

[ t_{стоя} = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 + \frac{20}{60} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \text{ ч} ]

3. Уравнение времени

Теперь можем записать уравнение:

[ \frac{80}{18 + v_t} + \frac{80}{18 - v_t} + \frac{4}{3} = \frac{31}{3} ]

4. Упрощение уравнения

Вычтем время стоянки:

[ \frac{80}{18 + v_t} + \frac{80}{18 - v_t} = \frac{31}{3} - \frac{4}{3} = \frac{27}{3} = 9 ]

Теперь умножим обе части на ( (18 + v_t)(18 - v_t) ):

[ 80(18 - v_t) + 80(18 + v_t) = 9(18 + v_t)(18 - v_t) ]

Упрощаем:

[ 80 \cdot 18 - 80v_t + 80 \cdot 18 + 80v_t = 9(18^2 - v_t^2) ]

[ 1440 = 9(324 - v_t^2) ]

5. Решение уравнения

Раскроем скобки:

[ 1440 = 2916 - 9v_t^2 ]

Переносим все в одну сторону:

[ 9v_t^2 = 2916 - 1440 ]

[ 9v_t^2 = 1476 ]

[ v_t^2 = \frac{1476}{9} = 164 ]

Теперь находим ( v_t ):

[ v_t = \sqrt{164} \approx 12.81 \text{ км/ч} ]

Ответ

Скорость течения реки составляет примерно ( 12.81 ) км/ч.

Для решения задачи обозначим скорость течения реки за ( v ) км/ч. Тогда скорость катера по течению реки будет ( 18 + v ), а против течения реки — ( 18 - v ). Расстояние между пристанями равно 80 км.

Шаг 1. Найдём время, затраченное катером в пути.

Общее время путешествия составило 10 часов 20 минут, что в часах равно: [ 10 + \frac{20}{60} = 10\frac{1}{3} = \frac{31}{3} \, \text{часа}. ] Катер затрачивал это время на путь туда, стоянку и путь обратно. Стоянка длилась 1 час 20 минут, что в часах: [ 1 + \frac{20}{60} = \frac{4}{3} \, \text{часа}. ] Таким образом, на движение туда и обратно катер затратил: [ \frac{31}{3} - \frac{4}{3} = \frac{27}{3} = 9 \, \text{часов}. ]

Шаг 2. Выразим время движения туда и обратно.

Время, затраченное на путь по течению, равно: [ \frac{80}{18 + v}. ] Время, затраченное на путь против течения, равно: [ \frac{80}{18 - v}. ] Сумма этих времён равна общему времени в пути (9 часов): [ \frac{80}{18 + v} + \frac{80}{18 - v} = 9. ]

Шаг 3. Приведём уравнение к общему знаменателю и упростим.

Общий знаменатель дробей ( (18 + v)(18 - v) ). Преобразуем уравнение: [ \frac{80(18 - v) + 80(18 + v)}{(18 + v)(18 - v)} = 9. ] Сократим числитель: [ 80(18 - v) + 80(18 + v) = 80 \cdot 18 - 80v + 80 \cdot 18 + 80v = 80 \cdot 36. ] Таким образом, уравнение становится: [ \frac{80 \cdot 36}{(18 + v)(18 - v)} = 9. ]

Шаг 4. Упростим уравнение.

Знаменатель ( (18 + v)(18 - v) ) раскрывается как разность квадратов: [ 18^2 - v^2 = 324 - v^2. ] Подставляем в уравнение: [ \frac{80 \cdot 36}{324 - v^2} = 9. ] Умножим обе части уравнения на ( 324 - v^2 ), чтобы избавиться от дроби: [ 80 \cdot 36 = 9(324 - v^2). ] Раскроем скобки: [ 2880 = 2916 - 9v^2. ] Переносим ( 2916 ) влево: [ 2880 - 2916 = -9v^2. ] [ -36 = -9v^2. ] Делим обе части на (-9): [ v^2 = 4. ]

Шаг 5. Найдём ( v ).

[ v = \sqrt{4} = 2 \, \text{км/ч}. ]

Ответ:

Скорость течения реки равна ( \mathbf{2 \, \text{км/ч}} ).