Разложить на множители а)х²+6ху+9у² б)х³-6х²у+9ху² в)а²+2аb+b²-4c² г)(а²+а)-(b²+b) д)ab²-ac² e)-2x²+4xy-2y²

а) x² + 6xy + 9y² = (x + 3y)²

б) x³ - 6x²y + 9xy² = x(x - 3y)²

в) a² + 2ab + b² - 4c² = (a + b + 2c)(a + b - 2c)

г) (a² + a) - (b² + b) = a(a + 1) - b(b + 1)

д) ab² - ac² = ab(b - c)

е) -2x² + 4xy - 2y² = -2(x - y)²

Для разложения многочленов на множители можно использовать различные методы, такие как выделение полного квадрата, группировка, использование формул сокращенного умножения и другие. Давайте разберём каждый из предложенных примеров:

а) (x^2 + 6xy + 9y^2)

Это выражение можно разложить с использованием формулы квадрата суммы: [ x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 ] Здесь мы видим, что первый и последний члены являются квадратами, а средний член равен удвоенному произведению корней из первого и последнего членов.

б) (x^3 - 6x^2y + 9xy^2)

Начнем с вынесения общего множителя (x): [ x(x^2 - 6xy + 9y^2) ] Теперь разложим квадратный трёхчлен в скобках: [ x(x - 3y)^2 ] Таким образом, разложение на множители будет: [ x(x - 3y)^2 ]

в) (a^2 + 2ab + b^2 - 4c^2)

Здесь можно использовать формулу разности квадратов и формулу квадрата суммы: [ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 ] [ 4c^2 = (2c)^2 ] Таким образом, выражение можно переписать как: [ (a + b)^2 - (2c)^2 ] Это разность квадратов, которая раскладывается следующим образом: [ ((a + b) - 2c)((a + b) + 2c) ]

г) ((a^2 + a) - (b^2 + b))

Здесь можно сгруппировать и вынести общий множитель: [ a(a + 1) - b(b + 1) ] Это разность двух произведений, раскладываемая как: [ (a - b)((a + 1) + (b + 1)) ] Или, проще говоря: [ (a - b)(a + b + 1) ]

д) (ab^2 - ac^2)

Здесь общий множитель — (a): [ a(b^2 - c^2) ] Разность квадратов: [ a(b - c)(b + c) ]

е) (-2x^2 + 4xy - 2y^2)

Можно вынести общий множитель (-2): [ -2(x^2 - 2xy + y^2) ] Теперь разложим квадратный трёхчлен: [ -2(x - y)^2 ]

Таким образом, мы разложили каждый многочлен на множители, используя разные методы, включая формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя.

а) (x+3y)² б) (x-3y)(x-3y) в) (a+b-2c)(a+b-2c) г) (a-b)(a-1) д) ab(b-c) е) -2(x-y)²