Разложите на множители: 5y^2(y - 4)+(4 - y)^2

Разложим данное выражение на множители. Итак, имеем:

5y²(y - 4) + (4 - y)²

1. Преобразуем вторую часть выражения

Обратим внимание на скобку ((4 - y)). Так как (4 - y = -(y - 4)), то ((4 - y)² = [-(y - 4)]² = (y - 4)²). Это справедливо, потому что возведение в квадрат уничтожает знак минуса.

Итак, выражение становится: [ 5y²(y - 4) + (y - 4)² ]

2. Вынесем общий множитель

Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель ((y - 4)). Вынесем его за скобки: [ 5y²(y - 4) + (y - 4)² = (y - 4)\left[5y² + (y - 4)\right] ]

3. Упростим выражение внутри квадратных скобок

Раскроем скобки внутри: [ 5y² + (y - 4) = 5y² + y - 4 ]

Таким образом, выражение теперь выглядит так: [ (y - 4)\left(5y² + y - 4\right) ]

4. Разложим трёхчлен (5y² + y - 4) на множители

Для разложения трёхчлена на множители воспользуемся методом подбора или разложения среднего члена. Уравнение: [ 5y² + y - 4 ] Ищем два числа, произведение которых равно (5 \cdot (-4) = -20), а сумма равна (1) (коэффициент при (y)).

Такими числами являются (5) и (-4). Разложим средний член (y) на два слагаемых: [ 5y² + 5y - 4y - 4 ]

Сгруппируем слагаемые попарно: [ (5y² + 5y) - (4y + 4) ]

Вынесем общий множитель из каждой группы: [ 5y(y + 1) - 4(y + 1) ]

Вынесем общий множитель ((y + 1)): [ (5y - 4)(y + 1) ]

5. Итоговое разложение

Подставим разложение трёхчлена обратно в выражение: [ (y - 4)(5y - 4)(y + 1) ]

Ответ:

[ 5y²(y - 4) + (4 - y)² = (y - 4)(5y - 4)(y + 1) ]

Для разложения данного выражения на множители сначала упростим его:

1. Раскроем скобки: ( 5y^2(y - 4) = 5y^3 - 20y^2 ) ( (4 - y)^2 = 16 - 8y + y^2 )

2. Сложим полученные выражения: ( 5y^3 - 20y^2 + 16 - 8y + y^2 = 5y^3 - 19y^2 - 8y + 16 )

Теперь мы можем попытаться разложить это выражение. Обратите внимание, что оно может быть разложено по схеме группировки или через поиск корней.

Однако, заметим, что ( (4 - y)^2 = (y - 4)^2 ).

Таким образом, изначальное выражение можно переписать как: [ 5y^2(y - 4) + (y - 4)^2 = (y - 4)(5y^2 + (y - 4)) = (y - 4)(5y^2 + y - 4) ]

Окончательно, разложенное на множители: [ (y - 4)(5y^2 + y - 4) ]

Чтобы разложить на множители выражение ( 5y^2(y - 4) + (4 - y)^2 ), начнем с его упрощения.

1. Перепишем квадрат: [ (4 - y)^2 = (-(y - 4))^2 = (y - 4)^2 ] Это важно, так как мы можем использовать это для упрощения.

2. Подставим это в исходное выражение: [ 5y^2(y - 4) + (y - 4)^2 ]

3. Вынесем общий множитель: Заметим, что ( (y - 4) ) является общим множителем. Вынесем его: [ (y - 4)(5y^2 + (y - 4)) ]

4. Упростим вторую часть скобок: Теперь упростим выражение в скобках: [ 5y^2 + (y - 4) = 5y^2 + y - 4 ]

5. Теперь у нас есть следующее выражение: [ (y - 4)(5y^2 + y - 4) ]

6. Посмотрим на второе выражение ( 5y^2 + y - 4 ): Попробуем разложить его на множители. Для этого находим корни уравнения ( 5y^2 + y - 4 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 ] Корни уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{10} ] Таким образом, получаем два корня: [ y_1 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, \quad y_2 = \frac{-10}{10} = -1 ]

7. Запишем разложение: Теперь мы можем записать ( 5y^2 + y - 4 ) в виде множителей: [ 5y^2 + y - 4 = 5(y - \frac{4}{5})(y + 1) ]

8. Подставим обратно: Подставив это разложение обратно в наше выражение, получаем: [ (y - 4)(5(y - \frac{4}{5})(y + 1)) ]

9. Итоговое разложение: Таким образом, итоговое разложение на множители нашего исходного выражения: [ 5(y - 4)(y - \frac{4}{5})(y + 1) ]

Это и есть разложение исходного выражения на множители.