Разложите на множители: а)64x^3+1 б)1 - 1/8p^3 (1/8 это дробь) в)m^3-27n^3 г)1/8a^3+b^3 (1/8 это дробь)...

Разложение на множители – это представление выражения в виде произведения нескольких множителей. Для разложения кубов применяется формула разложения суммы и разности кубов:

1. Сумма кубов:
   ( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) )

2. Разность кубов:
   ( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) )

Разберем каждое из выражений:

а) ( 64x^3 + 1 )

Здесь видна сумма кубов: ( 64x^3 = (4x)^3 ), ( 1 = 1^3 ).
Применим формулу суммы кубов:
[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) ] Подставляем ( a = 4x ), ( b = 1 ):
[ 64x^3 + 1 = (4x + 1)((4x)^2 - (4x)(1) + 1^2) ] Рассчитаем:
[ (4x)^2 = 16x^2, \quad (4x)(1) = 4x, \quad 1^2 = 1 ] Получаем:
[ 64x^3 + 1 = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1) ]

б) ( 1 - \frac{1}{8}p^3 )

Это разность кубов:
( 1 = 1^3 ), ( \frac{1}{8}p^3 = \left(\frac{1}{2}p\right)^3 ).
Применяем формулу разности кубов:
[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ] Подставляем ( a = 1 ), ( b = \frac{1}{2}p ):
[ 1 - \frac{1}{8}p^3 = \left(1 - \frac{1}{2}p\right)\left(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2}p + \left(\frac{1}{2}p\right)^2\right) ] Вычислим:
[ 1^2 = 1, \quad 1 \cdot \frac{1}{2}p = \frac{1}{2}p, \quad \left(\frac{1}{2}p\right)^2 = \frac{1}{4}p^2 ] Получаем:
[ 1 - \frac{1}{8}p^3 = \left(1 - \frac{1}{2}p\right)\left(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2\right) ]

в) ( m^3 - 27n^3 )

Это разность кубов:
( m^3 = m^3 ), ( 27n^3 = (3n)^3 ).
Применяем формулу разности кубов:
[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ] Подставляем ( a = m ), ( b = 3n ):
[ m^3 - 27n^3 = (m - 3n)(m^2 + m \cdot 3n + (3n)^2) ] Вычислим:
[ m^2 = m^2, \quad m \cdot 3n = 3mn, \quad (3n)^2 = 9n^2 ] Получаем:
[ m^3 - 27n^3 = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2) ]

г) ( \frac{1}{8}a^3 + b^3 )

Это сумма кубов:
( \frac{1}{8}a^3 = \left(\frac{1}{2}a\right)^3 ), ( b^3 = b^3 ).
Применяем формулу суммы кубов:
[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) ] Подставляем ( a = \frac{1}{2}a ), ( b = b ):
[ \frac{1}{8}a^3 + b^3 = \left(\frac{1}{2}a + b\right)\left(\left(\frac{1}{2}a\right)^2 - \left(\frac{1}{2}a\right)b + b^2\right) ] Вычислим:
[ \left(\frac{1}{2}a\right)^2 = \frac{1}{4}a^2, \quad \left(\frac{1}{2}a\right)b = \frac{1}{2}ab, \quad b^2 = b^2 ] Получаем:
[ \frac{1}{8}a^3 + b^3 = \left(\frac{1}{2}a + b\right)\left(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2\right) ]

Ответы:

а) ( 64x^3 + 1 = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1) )
б) ( 1 - \frac{1}{8}p^3 = \left(1 - \frac{1}{2}p\right)\left(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2\right) )
в) ( m^3 - 27n^3 = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2) )
г) ( \frac{1}{8}a^3 + b^3 = \left(\frac{1}{2}a + b\right)\left(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2\right) )

Разложение на множители — это важная тема в алгебре. Рассмотрим каждый из ваших примеров по очереди.

а) ( 64x^3 + 1 )

Это выражение представляет собой сумму кубов. Сумма кубов разлагается по формуле:

[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) ]

В нашем случае ( a = 4x ) и ( b = 1 ) (так как ( 64x^3 = (4x)^3 ) и ( 1 = 1^3 )). Подставляем в формулу:

[ 64x^3 + 1 = (4x + 1)((4x)^2 - (4x)(1) + 1^2) ]

Теперь упрощаем:

[ = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1) ]

Таким образом, разложение на множители будет:

[ 64x^3 + 1 = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1) ]

б) ( 1 - \frac{1}{8}p^3 )

Это выражение можно рассматривать как разность кубов, так как ( 1 = 1^3 ) и ( \frac{1}{8}p^3 = \left(\frac{1}{2}p\right)^3 ). Разность кубов разлагается по формуле:

[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ]

Здесь ( a = 1 ) и ( b = \frac{1}{2}p ). Теперь подставим в формулу:

[ 1 - \frac{1}{8}p^3 = (1 - \frac{1}{2}p)(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2}p + \left(\frac{1}{2}p\right)^2) ]

Упрощаем:

[ = (1 - \frac{1}{2}p)\left(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2\right) ]

Таким образом, разложение на множители будет:

[ 1 - \frac{1}{8}p^3 = (1 - \frac{1}{2}p)\left(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2\right) ]

в) ( m^3 - 27n^3 )

Это также разность кубов. Здесь ( a = m ) и ( b = 3n ) (так как ( 27n^3 = (3n)^3 )). Используем формулу разности кубов:

[ m^3 - (3n)^3 = (m - 3n)(m^2 + m(3n) + (3n)^2) ]

Теперь упрощаем:

[ = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2) ]

Таким образом, разложение на множители будет:

[ m^3 - 27n^3 = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2) ]

г) ( \frac{1}{8}a^3 + b^3 )

Это выражение можно рассматривать как сумму кубов. Для удобства умножим на 8, чтобы избавиться от дроби:

[ \frac{1}{8}a^3 + b^3 = \frac{1}{8}(a^3 + 8b^3) ]

Теперь ( 8b^3 = (2b)^3 ). Применяем формулу суммы кубов:

[ a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - a(2b) + (2b)^2) ]

Теперь подставляем обратно:

[ = \frac{1}{8}(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) ]

Таким образом, разложение на множители будет:

[ \frac{1}{8}a^3 + b^3 = \frac{1}{8}(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) ]

Итог

1. ( 64x^3 + 1 = (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1) )
2. ( 1 - \frac{1}{8}p^3 = (1 - \frac{1}{2}p)(1 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}p^2) )
3. ( m^3 - 27n^3 = (m - 3n)(m^2 + 3mn + 9n^2) )
4. ( \frac{1}{8}a^3 + b^3 = \frac{1}{8}(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) )

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется объяснение по другой теме, не стесняйтесь спрашивать!