Разложите на множители a^6+a^4-3a^2-3

Разложение на множители выражения (a^6 + a^4 - 3a^2 - 3) требует использования различных методов факторизации, таких как разложение на квадраты, группировка или применение специальных формул. Давайте разберем это пошагово.

1. Группировка членов: Рассмотрим выражение и попробуем сгруппировать его члены: [ a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = (a^6 + a^4) + (-3a^2 - 3) ]

2. Вынесение общего множителя: В первой группе можно вынести (a^4) за скобку, а во второй - (-3): [ a^4(a^2 + 1) - 3(a^2 + 1) ]

3. Вынос общего множителя за скобки: Теперь видно, что в обеих группах есть общий множитель ((a^2 + 1)): [ (a^4 - 3)(a^2 + 1) ]

4. Проверка на возможность дальнейшего разложения: Теперь нужно проверить, можно ли разложить на множители выражения (a^4 - 3) и (a^2 + 1).

   • (a^2 + 1) является неприводимым многочленом над полем действительных чисел, так как у него нет действительных корней.

   • (a^4 - 3) также является неприводимым многочленом над полем действительных чисел. Однако, если мы рассматриваем комплексные числа, можно использовать формулу разложения разности квадратов: [ a^4 - 3 = a^4 - \sqrt{3}^2 = (a^2 - \sqrt{3})(a^2 + \sqrt{3}) ]

5. Окончательное разложение: Таким образом, выражение (a^6 + a^4 - 3a^2 - 3) можно разложить на множители следующим образом: [ (a^4 - 3)(a^2 + 1) = (a^2 - \sqrt{3})(a^2 + \sqrt{3})(a^2 + 1) ]

Итак, окончательное разложение на множители многочлена (a^6 + a^4 - 3a^2 - 3) с использованием комплексных чисел выглядит так: [ (a^2 - \sqrt{3})(a^2 + \sqrt{3})(a^2 + 1) ]

Если мы ограничиваемся только действительными числами, то выражение останется в виде: [ (a^4 - 3)(a^2 + 1) ]

Для разложения данного многочлена на множители можно воспользоваться методом группировки.

a^6 + a^4 - 3a^2 - 3 = a^4(a^2 + 1) - 3(a^2 + 1) = (a^4 - 3)(a^2 + 1) = (a^2 - √3)(a^2 + √3)(a^2 + 1)

Таким образом, данное выражение можно разложить на множители следующим образом: (a^2 - √3)(a^2 + √3)(a^2 + 1).