Разложите на множители квадратный трёхчлен: A) x^2-15x+56 Б) 7x^2+9x+2

A) x^2 - 15x + 56

Для разложения данного квадратного трёхчлена на множители, необходимо найти два числа, сумма которых равна -15 (коэффициент перед x), а произведение равно 56 (последний член трёхчлена). Эти числа -8 и -7. Теперь выражаем квадратный трёхчлен как произведение двух биномов:

x^2 - 15x + 56 = (x - 8)(x - 7)

Б) 7x^2 + 9x + 2

Для разложения данного квадратного трёхчлена на множители, также необходимо найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 14 (произведение первого и последнего членов трёхчлена). Эти числа 7 и 2. Теперь выражаем квадратный трёхчлен как произведение двух биномов:

7x^2 + 9x + 2 = (7x + 2)(x + 1)

Разложение квадратных трёхчленов на множители часто выполняется с помощью поиска корней данного многочлена. Рассмотрим оба случая по очереди.

A) (x^2 - 15x + 56)

Для начала вспомним общий вид квадратного трёхчлена: [ ax^2 + bx + c ]

В данном случае (a = 1), (b = -15), (c = 56).

Чтобы разложить этот квадратный трёхчлен на множители, найдем его корни с помощью дискриминанта (D): [ D = b^2 - 4ac ]

Подставим значения (a), (b) и (c): [ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 ] [ D = 225 - 224 ] [ D = 1 ]

Теперь найдем корни уравнения (ax^2 + bx + c = 0) с использованием формулы: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения (a), (b) и дискриминанта (D): [ x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{15 \pm 1}{2} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{15 + 1}{2} = 8 ] [ x_2 = \frac{15 - 1}{2} = 7 ]

Теперь запишем трёхчлен в разложенном виде: [ x^2 - 15x + 56 = (x - 8)(x - 7) ]

Б) (7x^2 + 9x + 2)

Аналогично начнем с нахождения дискриминанта (D): [ D = b^2 - 4ac ]

Где (a = 7), (b = 9) и (c = 2): [ D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 ] [ D = 81 - 56 ] [ D = 25 ]

Теперь найдем корни уравнения (7x^2 + 9x + 2 = 0) с помощью формулы: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения: [ x = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 7} ] [ x = \frac{-9 \pm 5}{14} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7} ] [ x_2 = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1 ]

Теперь запишем трёхчлен в разложенном виде: [ 7x^2 + 9x + 2 = 7 \left( x + \frac{2}{7} \right)(x + 1) ]

Упростим выражение: [ 7x^2 + 9x + 2 = (7x + 2)(x + 1) ]

Таким образом, разложения квадратных трёхчленов на множители выглядят следующим образом:

A) (x^2 - 15x + 56 = (x - 8)(x - 7))

Б) (7x^2 + 9x + 2 = (7x + 2)(x + 1))

A) (x-8)(x-7)

Б) (7x+1)(x+2)