Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите периметр...

Для решения задачи найдем длины катетов прямоугольного треугольника. Обозначим катеты через ( a ) и ( b ), где ( a > b ). Из условия задачи известно, что разность катетов равна 23 см, то есть:

[ a - b = 23. ]

Также известно, что гипотенуза равна 37 см, следовательно, по теореме Пифагора:

[ a^2 + b^2 = 37^2. ]

Подставим значение гипотенузы:

[ a^2 + b^2 = 1369. ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( a - b = 23 )
2. ( a^2 + b^2 = 1369 )

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим ( a ) через ( b ):

[ a = b + 23. ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ (b + 23)^2 + b^2 = 1369. ]

Раскроем скобки:

[ b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369. ]

Объединим подобные слагаемые:

[ 2b^2 + 46b + 529 = 1369. ]

Перенесем все в левую часть уравнения:

[ 2b^2 + 46b + 529 - 1369 = 0. ]

[ 2b^2 + 46b - 840 = 0. ]

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

[ b^2 + 23b - 420 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант. Вычислим дискриминант:

[ D = 23^2 - 4 \times 1 \times (-420). ]

[ D = 529 + 1680 = 2209. ]

Теперь найдем корни уравнения:

[ b_{1,2} = \frac{-23 \pm \sqrt{2209}}{2}. ]

Поскольку (\sqrt{2209} = 47), получаем:

[ b_1 = \frac{-23 + 47}{2} = 12. ]

[ b_2 = \frac{-23 - 47}{2} = -35. ]

Отрицательное значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной, следовательно, ( b = 12 ).

Теперь найдем ( a ):

[ a = b + 23 = 12 + 23 = 35. ]

Итак, длины катетов равны ( a = 35 ) см и ( b = 12 ) см.

Теперь найдем периметр треугольника:

[ P = a + b + c = 35 + 12 + 37 = 84 \, \text{см}. ]

Ответ: Периметр треугольника равен 84 см.

Для нахождения периметра прямоугольного треугольника нужно сначала найти длины катетов. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: (a^2 + b^2 = c^2), где (a) и (b) - катеты, а (c) - гипотенуза.

Из условия задачи у нас уже известны значения длин гипотенузы и разности катетов: (c = 37) см и (a - b = 23) см.

Так как сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то можно записать уравнение: ((a - b)^2 + b^2 = c^2) ((a^2 - 2ab + b^2) + b^2 = c^2) (a^2 - 2ab + 2b^2 = c^2)

Подставляем известные значения: (a^2 - 2ab + b^2 = 37^2) (a^2 - 2ab + b^2 = 1369)

Теперь подставим в уравнение разность катетов: (a - b = 23), т.е. (a = b + 23), и запишем уравнение: ((b + 23)^2 - 2b(b + 23) + b^2 = 1369) (b^2 + 46b + 529 - 2b^2 - 46b + b^2 = 1369) (b^2 + 529 = 1369) (b^2 = 840) (b = \sqrt{840}) (b \approx 28.98) см

Теперь найдем значение катета (a): (a = b + 23 = 28.98 + 23 \approx 51.98) см

Теперь можем найти периметр треугольника: Периметр (P = a + b + c = 51.98 + 28.98 + 37 = 117.96) см

Ответ: Периметр треугольника равен приблизительно 117.96 см.

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон. Для нахождения катетов воспользуемся теоремой Пифагора: (a^2 + b^2 = c^2), где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Имеем: (a + b + c = 37 + 23 + 37 = 97) см.

Ответ: Периметр треугольника равен 97 см.