Решение системы:x+2y=1 и x2-xy-2y2=1

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения.

1. Метод подстановки: Из первого уравнения выразим x через y: x = 1 - 2y. Подставим это значение x во второе уравнение: (1 - 2y)^2 - (1 - 2y)y - 2y^2 = 1. Раскроем скобки и упростим уравнение: 1 - 4y + 4y^2 - y + 2y^2 - 2y^2 = 1. Преобразуем уравнение: 4y^2 - 6y = 0. Решим это квадратное уравнение: y(4y - 6) = 0 => y(2y - 3) = 0 => y = 0 или y = 3/2.

Подставим найденные значения y обратно в уравнение x = 1 - 2y:

• Для y = 0: x = 1 - 2*0 = 1.
• Для y = 3/2: x = 1 - 2*(3/2) = 1 - 3 = -2.

Таким образом, получаем два решения системы: (x, y) = (1, 0) и (-2, 3/2).

1. Метод исключения: Из первого уравнения выразим x через y: x = 1 - 2y. Подставим это значение x во второе уравнение: (1 - 2y)^2 - (1 - 2y)y - 2y^2 = 1. Раскроем скобки и упростим уравнение: 1 - 4y + 4y^2 - y + 2y^2 - 2y^2 = 1. Преобразуем уравнение: 4y^2 - 6y = 0. Решим это квадратное уравнение: y(4y - 6) = 0 => y(2y - 3) = 0 => y = 0 или y = 3/2.

Подставим найденные значения y обратно в уравнение x = 1 - 2y:

• Для y = 0: x = 1 - 2*0 = 1.
• Для y = 3/2: x = 1 - 2*(3/2) = 1 - 3 = -2.

Таким образом, получаем два решения системы: (x, y) = (1, 0) и (-2, 3/2).

Оба метода приводят к одним и тем же решениям системы уравнений.

x = 1, y = 0.

Рассмотрим систему уравнений:

1. ( x + 2y = 1 )
2. ( x^2 - xy - 2y^2 = 1 )

Для решения этой системы уравнений начнем с первого уравнения:

[ x + 2y = 1 ]

Выразим ( x ) через ( y ):

[ x = 1 - 2y ]

Теперь подставим это выражение для ( x ) во второе уравнение:

[ (1 - 2y)^2 - (1 - 2y)y - 2y^2 = 1 ]

Раскроем скобки:

[ (1 - 2y)^2 = 1 - 4y + 4y^2 ] [ (1 - 2y)y = y - 2y^2 ]

Подставим эти выражения во второе уравнение:

[ 1 - 4y + 4y^2 - y + 2y^2 - 2y^2 = 1 ]

Упростим:

[ 1 - 5y + 4y^2 = 1 ]

Перенесем 1 из правой части уравнения в левую:

[ 1 - 5y + 4y^2 - 1 = 0 ]

Сократим:

[ 4y^2 - 5y = 0 ]

Вынесем ( y ) за скобки:

[ y(4y - 5) = 0 ]

Получаем два уравнения:

1. ( y = 0 )
2. ( 4y - 5 = 0 )

Решим каждое из них.

1. ( y = 0 )

Подставим ( y = 0 ) в первое уравнение:

[ x + 2(0) = 1 ] [ x = 1 ]

Получаем первую пару решений:

[ (x, y) = (1, 0) ]

1. ( 4y - 5 = 0 )

Решим это уравнение:

[ 4y = 5 ] [ y = \frac{5}{4} ]

Подставим ( y = \frac{5}{4} ) в первое уравнение:

[ x + 2\left(\frac{5}{4}\right) = 1 ] [ x + \frac{10}{4} = 1 ] [ x + \frac{5}{2} = 1 ] [ x = 1 - \frac{5}{2} ] [ x = \frac{2}{2} - \frac{5}{2} ] [ x = -\frac{3}{2} ]

Получаем вторую пару решений:

[ (x, y) = \left( -\frac{3}{2}, \frac{5}{4} \right) ]

Итак, решения системы уравнений:

1. ( (x, y) = (1, 0) )
2. ( (x, y) = \left( -\frac{3}{2}, \frac{5}{4} \right) )