Решить неравенство (х+7)(х+1)(х-4)<0

Чтобы решить данное неравенство, нужно определить знаки выражения (х+7), (х+1) и (х-4) на интервалах, разбивая числовую прямую на отрезки по точкам, где эти выражения равны нулю: -7, -1 и 4.

1. Рассмотрим интервалы: -∞ < x < -7 -7 < x < -1 -1 < x < 4 4 < x < +∞

2. Определим знаки выражений на каждом интервале:

   • (х+7) < 0, (х+1) < 0, (х-4) < 0 на интервале -7 < x < -1
   • (х+7) > 0, (х+1) < 0, (х-4) < 0 на интервале -1 < x < 4
   • (х+7) > 0, (х+1) > 0, (х-4) < 0 на интервале 4 < x < +∞

3. Составим таблицу знаков: Интервал | (х+7) | (х+1) | (х-4) | (х+7)(х+1)(х-4)

-∞ < x < -7 | - | - | - | -
-7 < x < -1 | - | - | - | -
-1 < x < 4 | + | - | - | +
4 < x < +∞ | + | + | - | -

1. Итак, решение неравенства (х+7)(х+1)(х-4) < 0: -1 < x < 4

Таким образом, неравенство (х+7)(х+1)(х-4) < 0 выполняется при -1 < x < 4.

Для решения неравенства ((x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0) необходимо определить, при каких значениях (x) произведение трех множителей будет отрицательным.

Шаг 1: Найдите нули каждого множителя

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. (x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7)
2. (x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1)
3. (x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4)

Эти значения разбивают числовую ось на несколько интервалов: ((-\infty, -7)), ((-7, -1)), ((-1, 4)), и ((4, \infty)).

Шаг 2: Определите знак каждого множителя на каждом интервале

Теперь проверим знак каждого множителя на каждом из интервалов:

• Интервал ((-\infty, -7)):

  • (x + 7 < 0)
  • (x + 1 < 0)
  • (x - 4 < 0)
  • Произведение: ( (-) \cdot (-) \cdot (-) = - )

• Интервал ((-7, -1)):

  • (x + 7 > 0)
  • (x + 1 < 0)
  • (x - 4 < 0)
  • Произведение: ( (+) \cdot (-) \cdot (-) = + )

• Интервал ((-1, 4)):

  • (x + 7 > 0)
  • (x + 1 > 0)
  • (x - 4 < 0)
  • Произведение: ( (+) \cdot (+) \cdot (-) = - )

• Интервал ((4, \infty)):

  • (x + 7 > 0)
  • (x + 1 > 0)
  • (x - 4 > 0)
  • Произведение: ( (+) \cdot (+) \cdot (+) = + )

Шаг 3: Выберите интервалы, где произведение отрицательно

Из анализа следует, что произведение отрицательно на интервалах ((-\infty, -7)) и ((-1, 4)).

Ответ

Таким образом, решение неравенства ((x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0) — это объединение интервалов:

[ x \in (-\infty, -7) \cup (-1, 4) ]