Решить пример x^6=(6x-5)^3

Для решения данного уравнения сначала приведем его к более удобному виду. Возведем обе части уравнения в степень 1/3, чтобы избавиться от степени 3 на правой стороне: x^2 = 6x - 5

Теперь преобразуем уравнение к квадратному виду: x^2 - 6x + 5 = 0

Факторизуем полученное квадратное уравнение: (x - 1)(x - 5) = 0

Отсюда получаем два корня уравнения: x = 1 и x = 5.

Таким образом, уравнение x^6 = (6x - 5)^3 имеет два корня: x = 1 и x = 5.

Рассмотрим уравнение ( x^6 = (6x - 5)^3 ).

Для решения этого уравнения применим метод разложения на множители и сравнения степеней.

1. Анализ структуры уравнения. У нас есть две степени: шестая степень с одной стороны и кубическая степень с другой стороны. Чтобы упростить уравнение, попробуем сравнить эти степени, предположив, что выражения в скобках равны.

2. Предположим, что ( x^2 = 6x - 5 ). Это предположение основывается на том, что ( x^6 ) и ( (6x - 5)^3 ) имеют степени, кратные друг другу. Тогда: [ x^2 = 6x - 5 ]

3. Решим квадратное уравнение. Приведем уравнение к стандартной форме: [ x^2 - 6x + 5 = 0 ]

4. Найдем корни квадратного уравнения. Используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 ]

   Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} ] [ x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 ] [ x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 ]

5. Проверим найденные корни в исходном уравнении. Подставим ( x = 5 ) и ( x = 1 ) в исходное уравнение ( x^6 = (6x - 5)^3 ):

   • Для ( x = 5 ): [ 5^6 = (6 \cdot 5 - 5)^3 ] [ 15625 = 25^3 ] [ 15625 = 15625 \quad \text{(верно)} ]

   • Для ( x = 1 ): [ 1^6 = (6 \cdot 1 - 5)^3 ] [ 1 = 1^3 ] [ 1 = 1 \quad \text{(верно)} ]

Итак, оба корня ( x = 5 ) и ( x = 1 ) удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: Решениями уравнения ( x^6 = (6x - 5)^3 ) являются ( x = 5 ) и ( x = 1 ).