Решить систему: 1/x+4/y=4 1/y-2/x=10

Для решения системы уравнений

[ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4 \tag{1} ] [ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10 \tag{2} ]

начнем с введения новых переменных для упрощения. Обозначим:

[ a = \frac{1}{x}, \quad b = \frac{1}{y}. ]

Тогда уравнения можно переписать в следующем виде:

[ a + 4b = 4 \tag{3} ] [ b - 2a = 10 \tag{4} ]

Теперь решим систему уравнений (3) и (4).

1. Из уравнения (3) выразим (a):

[ a = 4 - 4b \tag{5} ]

1. Подставим (5) в уравнение (4):

[ b - 2(4 - 4b) = 10. ]

Упростим это уравнение:

[ b - 8 + 8b = 10, ] [ 9b - 8 = 10, ] [ 9b = 18, ] [ b = 2. ]

1. Теперь подставим найденное значение (b) в уравнение (5) для нахождения (a):

[ a = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4. ]

Теперь у нас есть значения (a) и (b):

[ a = -4, \quad b = 2. ]

1. Теперь вернемся к нашим исходным переменным:

[ \frac{1}{x} = a = -4 \implies x = -\frac{1}{4}, ] [ \frac{1}{y} = b = 2 \implies y = \frac{1}{2}. ]

Таким образом, мы получили решение системы:

[ x = -\frac{1}{4}, \quad y = \frac{1}{2}. ]

1. Для проверки подставим найденные значения (x) и (y) в исходные уравнения.

Проверка уравнения (1):

[ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = \frac{1}{-\frac{1}{4}} + \frac{4}{\frac{1}{2}} = -4 + 8 = 4. ]

Проверка уравнения (2):

[ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{1}{\frac{1}{2}} - \frac{2}{-\frac{1}{4}} = 2 + 8 = 10. ]

Оба уравнения выполнены, следовательно, решение системы:

[ (x, y) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right). ]

Чтобы решить систему:

1) ( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4 )

2) ( \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10 )

Введем новые переменные: ( a = \frac{1}{x} ) и ( b = \frac{1}{y} ). Тогда систему можно переписать как:

1) ( a + 4b = 4 )

2) ( b - 2a = 10 )

Теперь решим эту систему. Из первого уравнения выразим ( a ):

( a = 4 - 4b )

Подставим ( a ) во второе уравнение:

( b - 2(4 - 4b) = 10 )

Упрощаем:

( b - 8 + 8b = 10 )

( 9b - 8 = 10 )

( 9b = 18 )

( b = 2 )

Теперь найдем ( a ):

( a = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4 )

Теперь вернемся к ( x ) и ( y ):

( x = \frac{1}{a} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} )

( y = \frac{1}{b} = \frac{1}{2} )

Ответ: ( x = -\frac{1}{4}, y = \frac{1}{2} ).

Рассмотрим решение следующей системы нелинейных уравнений:

[ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4 ] [ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10 ]

Шаг 1. Введение замен

Для удобства решения введём следующие замены: [ u = \frac{1}{x}, \quad v = \frac{1}{y}. ] Тогда система приобретает вид: [ u + 4v = 4, \tag{1} ] [ v - 2u = 10. \tag{2} ]

Шаг 2. Решение системы для (u) и (v)

Теперь решим линейную систему уравнений (1) и (2). Выразим (u) и (v).

1. Из уравнения (1) выразим (u): [ u = 4 - 4v. \tag{3} ]

2. Подставим выражение для (u) из (3) в уравнение (2): [ v - 2(4 - 4v) = 10. ] Раскроем скобки: [ v - 8 + 8v = 10. ] Сгруппируем подобные: [ 9v - 8 = 10. ] Решим относительно (v): [ 9v = 18 \quad \Rightarrow \quad v = 2. ]

3. Подставим найденное значение (v = 2) в уравнение (3) для нахождения (u): [ u = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4. ]

Шаг 3. Возврат к исходным переменным

Мы нашли: [ u = \frac{1}{x} = -4, \quad v = \frac{1}{y} = 2. ]

1. Из (u = \frac{1}{x} = -4) находим (x): [ x = \frac{1}{u} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}. ]

2. Из (v = \frac{1}{y} = 2) находим (y): [ y = \frac{1}{v} = \frac{1}{2}. ]

Шаг 4. Проверка решения

Подставим (x = -\frac{1}{4}) и (y = \frac{1}{2}) в исходную систему:

1. Проверим первое уравнение: [ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = \frac{1}{-\frac{1}{4}} + \frac{4}{\frac{1}{2}} = -4 + 8 = 4. ] Выполняется.

2. Проверим второе уравнение: [ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{1}{\frac{1}{2}} - \frac{2}{-\frac{1}{4}} = 2 + 8 = 10. ] Выполняется.

Ответ:

[ x = -\frac{1}{4}, \quad y = \frac{1}{2}. ]