Решить систему методом замены переменной: ху(х+у)=6; ху+(х+у)=5.

Для решения данной системы методом замены переменной можно воспользоваться следующим приемом:

Пусть x + y = t, тогда систему можно переписать в виде: xy = 6 - t t = 5 - xy

Теперь заменим xy во втором уравнении на (6 - t), получим: t = 5 - (6 - t) t = 5 - 6 + t 2t = -1 t = -1/2

Теперь найдем значения x и y: x + y = -1/2 xy = 6 - (-1/2) = 6 + 1/2 = 13/2

Решив систему уравнений x + y = -1/2 и xy = 13/2, получим значения переменных x и y.

Для решения системы уравнений методом замены переменной, начнем с данных уравнений:

1. ( xy(x+y) = 6 )
2. ( xy + (x+y) = 5 )

Для удобства введем новые переменные: ( a = xy ) и ( b = x+y ). Тогда уравнения системы примут вид:

1. ( ab = 6 )
2. ( a + b = 5 )

Теперь решим систему с новыми переменными:

Из второго уравнения выразим одну переменную через другую: [ a = 5 - b ]

Подставим это выражение в первое уравнение: [ (5 - b)b = 6 ]

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: [ 5b - b^2 = 6 ] [ b^2 - 5b + 6 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 ]

Теперь найдем корни уравнения: [ b_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} ]

Получаем два корня: [ b_1 = \frac{6}{2} = 3 ] [ b_2 = \frac{4}{2} = 2 ]

Теперь найдем соответствующие значения ( a ) для каждого из найденных значений ( b ):

1. Если ( b = 3 ), то ( a = 5 - 3 = 2 ).
2. Если ( b = 2 ), то ( a = 5 - 2 = 3 ).

Теперь вернемся к исходным переменным ( x ) и ( y ) и найдем их значения для каждого из случаев:

Случай 1: ( a = 2 ), ( b = 3 )

У нас: [ xy = 2 ] [ x + y = 3 ]

Решим систему: Из второго уравнения выразим одну переменную через другую: [ y = 3 - x ]

Подставим это в первое уравнение: [ x(3 - x) = 2 ] [ 3x - x^2 = 2 ] [ x^2 - 3x + 2 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение: [ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 ]

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2} ]

Получаем: [ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad y_1 = 3 - 2 = 1 ] [ x_2 = \frac{2}{2} = 1, \quad y_2 = 3 - 1 = 2 ]

Случай 2: ( a = 3 ), ( b = 2 )

У нас: [ xy = 3 ] [ x + y = 2 ]

Решим систему: Из второго уравнения выразим одну переменную через другую: [ y = 2 - x ]

Подставим это в первое уравнение: [ x(2 - x) = 3 ] [ 2x - x^2 = 3 ] [ x^2 - 2x + 3 = 0 ]

Найдем дискриминант: [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 ]

Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.

Таким образом, система имеет решения ( (x, y) = (2, 1) ) и ( (x, y) = (1, 2) ).

1. Решаем первое уравнение относительно х: х = 6/(у(1+у))
2. Подставляем х во второе уравнение: 6/(у(1+у)) * у + 6/(у(1+у)) + у = 5
3. Решаем полученное уравнение и находим значения переменных.