Решить уравнение: 16^x - 17 * 4^x + 16 =0

Решение уравнения 16^x - 17 * 4^x + 16 = 0: x = 2.

Для решения уравнения (16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0) используем метод замены переменной.

1. Представим 16 и 4 как степени числа 2: [ 16 = 2^4 \quad \text{и} \quad 4 = 2^2 ]

2. Тогда уравнение можно записать как: [ (2^4)^x - 17 \cdot (2^2)^x + 16 = 0 ]

3. Упростим выражения: [ 2^{4x} - 17 \cdot 2^{2x} + 16 = 0 ]

4. Введём замену: [ y = 2^{2x} ] Тогда (y^2 = (2^{2x})^2 = 2^{4x}).

5. Подставим замену в уравнение: [ y^2 - 17y + 16 = 0 ]

6. Решим квадратное уравнение: [ y^2 - 17y + 16 = 0 ]

   Для этого найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 ]

7. Найдем корни уравнения: [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{2} ]

   Таким образом, получаем: [ y_1 = \frac{17 + 15}{2} = 16 ] [ y_2 = \frac{17 - 15}{2} = 1 ]

8. Вернемся к переменной (x):

   Для (y = 16): [ 2^{2x} = 16 \quad \Rightarrow \quad 2^{2x} = 2^4 \quad \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ]

   Для (y = 1): [ 2^{2x} = 1 \quad \Rightarrow \quad 2^{2x} = 2^0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ]

Таким образом, уравнение (16^x - 17 \cdot 4^x + 16 = 0) имеет два решения: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 ]

Для решения данного уравнения сначала введем замену: пусть y = 4^x. Тогда уравнение примет вид:

y^2 - 17y + 16 = 0

Далее решим квадратное уравнение относительно y:

D = (-17)^2 - 4116 = 289 - 64 = 225 y1 = (17 + √225) / 2 = 9 y2 = (17 - √225) / 2 = 8

Теперь найдем x, подставив обратно y = 4^x:

1) y1 = 4^x = 9 x = log4(9) = log(9) / log(4) ≈ 1.5

2) y2 = 4^x = 8 x = log4(8) = log(8) / log(4) = 3 / 2 = 1.5

Таким образом, уравнение 16^x - 17 * 4^x + 16 = 0 имеет два корня: x ≈ 1.5.