Решить уравнение 2^(sin(пи/2 - x)) - 2 * (1/2)^(2cos^2( x) )= 0 отрезок ./3пи; 9пи/2 /

Чтобы решить уравнение (2^{\sin(\pi/2 - x)} - 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2\cos^2(x)} = 0) на отрезке ([\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]), следуем следующим шагам:

1. Упростим выражение:

   Учитывая, что (\sin(\pi/2 - x) = \cos(x)), уравнение можно записать как: [ 2^{\cos(x)} - 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2\cos^2(x)} = 0 ]

   Заметим, что (\left(\frac{1}{2}\right)^{2\cos^2(x)} = 2^{-2\cos^2(x)}).

   Таким образом, уравнение становится: [ 2^{\cos(x)} - 2 \times 2^{-2\cos^2(x)} = 0 ]

   Это можно переписать как: [ 2^{\cos(x)} - 2^{1 - 2\cos^2(x)} = 0 ]

2. Введем замену:

   Пусть (y = \cos(x)). Тогда уравнение принимает вид: [ 2^y = 2^{1 - 2y^2} ]

   Из этого следует: [ y = 1 - 2y^2 ]

3. Решим квадратное уравнение:

   Преобразуем его в стандартный вид: [ 2y^2 + y - 1 = 0 ]

   Используем формулу для решения квадратного уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 2), (b = 1), (c = -1).

   Подставляем значения: [ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} ]

   Таким образом, получаем два решения: [ y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-4}{4} = -1 ]

4. Найдем соответствующие значения (x):

   • Для (y_1 = \frac{1}{2}), (\cos(x) = \frac{1}{2}): [ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

   • Для (y_2 = -1), (\cos(x) = -1): [ x = \pi + 2k\pi ]

5. Определим решения на отрезке ([\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}]):

   • Для (x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi) и (x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi), проверяем значение (k):

     • (x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi) не входит в указанный отрезок.
     • (x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi) не входит в указанный отрезок.
     • Проверка (x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi) на каждом шаге показывает, что подходящих значений (k) нет.

   • Для (x = \pi + 2k\pi):

     • (x = \pi + 2\pi = 3\pi), входит в отрезок.
     • (x = \pi + 4\pi = 5\pi), входит в отрезок.

Следовательно, решения на указанном отрезке: (x = 3\pi) и (x = 5\pi).

Ответ: x = 3π/2.

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его и привести к более удобному виду.

Сначала заметим, что ( 2 (1/2)^{2\cos^2(x)} = 2 (\cos^2(x))^2 ) и далее заменим ( \cos^2(x) ) на ( 1 - \sin^2(x) ), получим ( 2 * (1 - \sin^2(x))^2 ).

Теперь избавимся от степеней в уравнении, для этого воспользуемся следующим свойством: ( a^b = e^{b\ln{a}} ), тогда уравнение примет вид: [ e^{(\ln{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{2} - x))} = e^{(\ln{2} + 2\ln{(1 - \sin^2(x))})} ]

Теперь равенство степеней означает равенство аргументов экспонент, то есть: [ \ln{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \ln{2} + 2\ln{(1 - \sin^2(x))} ]

Раскроем синус разности: [ \ln{2} \cdot \cos(x) = \ln{2} + 2\ln{(1 - \sin^2(x))} ]

Применим тригонометрическое тождество ( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) ): [ \ln{2} \cdot \cos(x) = \ln{2} + 2\ln{\cos(x)} ]

Преобразуем уравнение: [ \ln{2} \cdot \cos(x) - 2\ln{\cos(x)} = \ln{2} ]

[ \ln{(\cos(x)^{\ln{2}})} = \ln{2} ]

[ \cos(x)^{\ln{2}} = 2 ]

[ \cos(x) = 2^{\frac{1}{\ln{2}}} ]

[ \cos(x) = 2^{\log_{2}{e}} ]

[ \cos(x) = e ]

Таким образом, уравнение сводится к ( \cos(x) = e ), что даёт решение ( x = \arccos(e) ) на отрезке ( [\frac{\pi}{3}; \frac{9\pi}{2}] ).