Решить уравнение 4^x+2^x-20=0

Для решения уравнения 4^x + 2^x - 20 = 0 можно воспользоваться методом замены переменной. Для начала введем замену: у = 2^x. Тогда уравнение примет вид: у^2 + у - 20 = 0. Далее решаем квадратное уравнение: у = (-1 ± √(1 + 4*20)) / 2 = (-1 ± 9) / 2. Получаем два возможных значения для у: у1 = 4, у2 = -5.

Теперь мы можем вернуться к исходному уравнению и подставить найденные значения для у: 2^x = 4 и 2^x = -5. Решая первое уравнение, получим x = log2(4) = 2. Решение второго уравнения не имеет смысла, так как 2 в любой степени положительно.

Итак, решением исходного уравнения 4^x + 2^x - 20 = 0 является x = 2.

Для решения уравнения ( 4^x + 2^x - 20 = 0 ) можно сделать подстановку, которая упростит уравнение. Заметим, что ( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} ). Тогда уравнение примет вид:

[ 2^{2x} + 2^x - 20 = 0. ]

Введем новую переменную ( y = 2^x ). Тогда ( 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2 ). Уравнение перепишется как:

[ y^2 + y - 20 = 0. ]

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение. Используем формулу корней квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -20 ).

Подставляем данные значения:

[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2}. ]

Получаем два возможных значения для ( y ):

1. ( y = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 ),
2. ( y = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 ).

Поскольку ( y = 2^x ) и ( 2^x ) всегда положительно, ( y ) не может быть отрицательным. Таким образом, единственно возможное значение ( y = 4 ).

Теперь мы возвращаемся к замене:

[ 2^x = 4. ]

Так как ( 4 = 2^2 ), следует, что:

[ 2^x = 2^2. ]

Отсюда ( x = 2 ).

Итак, решением исходного уравнения ( 4^x + 2^x - 20 = 0 ) является ( x = 2 ).