Решить уравнение: sin(2x)=1 Напишите подробное решение

Для решения уравнения sin(2x) = 1 мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Известно, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это выражение в уравнение:

2sin(x)cos(x) = 1

Разделим обе части уравнения на 2cos(x):

sin(x) = 1/(2cos(x))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим это выражение в уравнение sin(x) = 1/(2cos(x)):

1 - cos^2(x) = 1/(2cos(x))

Умножим обе части уравнения на 2cos(x):

2cos(x) - 2cos^3(x) = 1

Полученное уравнение можно решить методом подстановки или численными методами. Найденные значения x будут являться решениями исходного уравнения sin(2x) = 1.

Для решения уравнения sin(2x) = 1, начнем с анализа функции и условия.

1. Основное тригонометрическое соотношение: Значение функции синус равное 1 достигается тогда, когда угол равен π/2 радиан (или 90 градусов). Однако, поскольку синус - периодическая функция с периодом 2π, мы должны учитывать все углы, которые по сдвигу на целое количество периодов дают π/2.

2. Уравнение: sin(2x) = 1. Здесь углом является 2x. То есть, 2x должен быть равен π/2 плюс любое целое кратное π, чтобы учесть периодичность синуса: 2x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.

3. Решение для x: Решаем это уравнение для x: [ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi ] [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} ] Здесь, k - целое число.

Это уравнение показывает, что x может принимать значения вида π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, и так далее, в зависимости от значения k. Если k четное, то x будет равен π/4, 5π/4 и так далее, если k нечетное, то x будет равен 3π/4, 7π/4 и так далее.

1. Общее решение: Таким образом, общее решение уравнения sin(2x) = 1 можно записать как: [ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} ] где $\mathbb{Z}$ обозначает множество всех целых чисел.

Это решение учитывает все возможные значения x, при которых sin(2x) достигает значения 1.