Решить уравнение sin^2x-4sinx*cosx+3cos^2x=0

Решение уравнения sin^2x - 4sinx*cosx + 3cos^2x = 0: (sin x - 3cos x)(sin x - cos x) = 0 sin x - 3cos x = 0 или sin x - cos x = 0 sin x = 3cos x или sin x = cos x tg x = 3 или tg x = 1 x = arctg(3) + πn или x = arctg(1) + πn, где n - целое число.

Чтобы решить уравнение (\sin^2x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2x = 0), можно использовать тригонометрические тождества и преобразования.

1. Перепишем уравнение: [ \sin^2x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2x = 0 ]

2. Воспользуемся тригонометрическим тождеством (\sin^2 x + \cos^2 x = 1). Тогда (\sin^2 x = 1 - \cos^2 x), и подставим это в уравнение: [ (1 - \cos^2 x) - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 ]

3. Упростим выражение: [ 1 - \cos^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 ]

4. Сгруппируем однотипные члены: [ 1 + 2\cos^2 x - 4\sin x \cos x = 0 ]

5. Введем замену: (\sin x = t) и (\cos x = \sqrt{1 - t^2}). Тогда уравнение становится: [ 1 + 2(1 - t^2) - 4t \sqrt{1 - t^2} = 0 ]

6. Упростим выражение: [ 1 + 2 - 2t^2 - 4t \sqrt{1 - t^2} = 0 ] [ 3 - 2t^2 - 4t \sqrt{1 - t^2} = 0 ]

7. Изолируем радикал: [ 3 - 2t^2 = 4t \sqrt{1 - t^2} ]

8. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала: [ (3 - 2t^2)^2 = (4t \sqrt{1 - t^2})^2 ] [ 9 - 12t^2 + 4t^4 = 16t^2 (1 - t^2) ] [ 9 - 12t^2 + 4t^4 = 16t^2 - 16t^4 ]

9. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: [ 4t^4 + 16t^4 - 12t^2 - 16t^2 + 9 = 0 ] [ 20t^4 - 28t^2 + 9 = 0 ]

10. Введем новую переменную: (u = t^2). Тогда уравнение становится: [ 20u^2 - 28u + 9 = 0 ]

11. Решим это квадратное уравнение: [ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 9 = 784 - 720 = 64 ] [ u_{1,2} = \frac{28 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 20} = \frac{28 \pm 8}{40} ] [ u_1 = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}, \quad u_2 = \frac{20}{40} = \frac{1}{2} ]

12. Возвращаемся к переменной (t): [ t^2 = \frac{9}{10} \quad \text{или} \quad t^2 = \frac{1}{2} ] [ t = \pm \sqrt{\frac{9}{10}} \quad \text{или} \quad t = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} ] [ t = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} \quad \text{или} \quad t = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} ]

13. Преобразуем (t) обратно в (\sin x): [ \sin x = \pm \frac{3}{\sqrt{10}} \quad \text{или} \quad \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} ]

14. Найдем углы (x):

    • (\sin x = \frac{3}{\sqrt{10}}) или (\sin x = -\frac{3}{\sqrt{10}}) не имеют решений, так как значение (\frac{3}{\sqrt{10}}) больше 1.
    • (\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{для любого целого } k ]
    • (\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}): [ x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{для любого целого } k ]

Итак, решения уравнения: [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{для любого целого } k. ]

Для решения данного уравнения сначала заметим, что уравнение можно переписать в виде (sinx - 3cosx)(sinx - cosx) = 0. Поэтому у нас есть два уравнения: sinx - 3cosx = 0 и sinx - cosx = 0.

1) Решим первое уравнение sinx - 3cosx = 0: sinx = 3cosx tgx = 3 x = arctg(3) + πk, где k - целое число.

2) Решим второе уравнение sinx - cosx = 0: sinx = cosx tgx = 1 x = π/4 + πk, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения sin^2x - 4sinx*cosx + 3cos^2x = 0: x = arctg(3) + πk, x = π/4 + πk, где k - целое число.