Решить задачу: Периметр прямоугольника равен 28см, а сумма площадей квадратов построенных на двух смежных...

Пусть длина прямоугольника равна x, а ширина равна y.

Тогда периметр прямоугольника равен 2x + 2y = 28, откуда x + y = 14 (1).

Также из условия задачи известно, что сумма площадей квадратов построенных на двух смежных сторонах прямоугольника равна 116 кв.см. Это означает, что x^2 + y^2 = 116 (2).

Из уравнения (1) выразим y через x: y = 14 - x.

Подставим это выражение в уравнение (2) и получим:

x^2 + (14 - x)^2 = 116, x^2 + 196 - 28x + x^2 = 116, 2x^2 - 28x + 80 = 0, x^2 - 14x + 40 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем два возможных значения для x: x1 = 10 и x2 = 4.

Подставляя значения x обратно в уравнение (1), получаем соответственно y1 = 4 и y2 = 10.

Итак, стороны прямоугольника равны 10 см и 4 см.

Пусть стороны прямоугольника равны а и b. Тогда периметр равен 2а + 2b = 28, а сумма площадей квадратов равна а^2 + b^2 = 116.

Из первого уравнения найдем, что а + b = 14. Теперь подставим это значение во второе уравнение:

(14 - b)^2 + b^2 = 116 196 - 28b + b^2 + b^2 = 116 2b^2 - 28b + 80 = 0 b^2 - 14b + 40 = 0 (b - 10)(b - 4) = 0

Итак, b = 10 или b = 4. Подставим оба значения обратно в уравнение а + b = 14 и найдем, что а = 4 или а = 10.

Итак, стороны прямоугольника равны 4см и 10см.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим стороны прямоугольника как (a) и (b).

1. Периметр прямоугольника:
   Периметр прямоугольника выражается формулой: [ P = 2(a + b) ] По условию задачи, периметр равен 28 см: [ 2(a + b) = 28 ] Упростим это уравнение: [ a + b = 14 ]

2. Сумма площадей квадратов:
   Площадь квадрата, построенного на стороне (a), равна (a^2), а на стороне (b) — (b^2). По условию задачи, сумма этих площадей равна 116 кв.см: [ a^2 + b^2 = 116 ]

Теперь у нас есть система уравнений: [ \begin{cases} a + b = 14 \ a^2 + b^2 = 116 \end{cases} ]

1. Решение системы уравнений:
   Выразим (b) из первого уравнения: [ b = 14 - a ]

   Подставим это выражение во второе уравнение: [ a^2 + (14 - a)^2 = 116 ]

   Теперь раскроем скобки: [ a^2 + (14 - a)^2 = a^2 + (196 - 28a + a^2) = 116 ]

   Объединим и упростим: [ 2a^2 - 28a + 196 = 116 ]

   Перенесём 116 в левую часть уравнения: [ 2a^2 - 28a + 80 = 0 ]

   Упростим уравнение, разделив его на 2: [ a^2 - 14a + 40 = 0 ]

   Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Найдём дискриминант (D): [ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 - 160 = 36 ]

   Поскольку дискриминант положительный, у уравнения два корня: [ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 6}{2} ]

   Найдём (a): [ a_1 = \frac{14 + 6}{2} = 10 ] [ a_2 = \frac{14 - 6}{2} = 4 ]

   Соответствующие значения для (b):

   • Если (a = 10), то (b = 14 - 10 = 4)
   • Если (a = 4), то (b = 14 - 4 = 10)

Таким образом, стороны прямоугольника могут быть (4) см и (10) см.