. Решите биквадратное уравнение х4 - 19х2 + 48 = 0.

Чтобы решить биквадратное уравнение ( x^4 - 19x^2 + 48 = 0 ), мы можем сделать замену переменной, которая значительно упростит решение. Введем новую переменную ( y ), такую что ( y = x^2 ). Тогда уравнение ( x^4 - 19x^2 + 48 = 0 ) можно переписать как:

[ y^2 - 19y + 48 = 0 ]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение относительно ( y ). Для этого используем квадратную формулу:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = -19 ), и ( c = 48 ). Подставим эти значения в формулу:

[ y_{1,2} = \frac{-(-19) \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1} ]

[ y_{1,2} = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 192}}{2} ]

[ y_{1,2} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{2} ]

[ y_{1,2} = \frac{19 \pm 13}{2} ]

Таким образом, мы получаем два значения для ( y ):

[ y_1 = \frac{19 + 13}{2} = \frac{32}{2} = 16 ]

[ y_2 = \frac{19 - 13}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]

Теперь мы возвращаемся к переменной ( x ), помня, что ( y = x^2 ). Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. ( x^2 = 16 )
2. ( x^2 = 3 )

Решим каждое из них по отдельности:

1. ( x^2 = 16 )

[ x = \pm \sqrt{16} ] [ x = \pm 4 ]

1. ( x^2 = 3 )

[ x = \pm \sqrt{3} ] [ x = \pm \sqrt{3} ]

Таким образом, у нас есть четыре решения для исходного биквадратного уравнения:

[ x = 4, \, x = -4, \, x = \sqrt{3}, \, x = -\sqrt{3} ]

Эти четыре значения являются корнями уравнения ( x^4 - 19x^2 + 48 = 0 ).

Для решения биквадратного уравнения (x^4 - 19x^2 + 48 = 0) проведем замену переменной, чтобы свести его к квадратному уравнению относительно переменной (y = x^2). Таким образом, уравнение примет вид (y^2 - 19y + 48 = 0).

Далее решим квадратное уравнение:

1. Найдем дискриминант: (D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 361 - 192 = 169).
2. Найдем корни уравнения: (y_1 = \frac{19 + \sqrt{169}}{2} = \frac{19 + 13}{2} = 16) и (y_2 = \frac{19 - \sqrt{169}}{2} = \frac{19 - 13}{2} = 3).

Теперь найдем значения переменной (x), подставив найденные (y) в уравнение (y = x^2):

1. Для (y = 16: x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4).
2. Для (y = 3: x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}).

Таким образом, уравнение (x^4 - 19x^2 + 48 = 0) имеет четыре корня: (x = 4, x = -4, x = \sqrt{3}, x = -\sqrt{3}).