Рассмотрим решение системы уравнений графическим методом:
Нам дана система:
- ( y = x )
- ( y = 3x - 4 )
1. Построение графика первого уравнения ( y = x ):
Уравнение ( y = x ) представляет собой прямую, которая проходит через начало координат (точка ( (0, 0) )), так как при ( x = 0 ), ( y = 0 ). У этой прямой угловой коэффициент равен ( 1 ), что означает, что она поднимается вверх под углом ( 45^\circ ) (на единицу вверх при смещении на единицу вправо).
Для построения прямой достаточно взять несколько точек:
- При ( x = -1 ): ( y = -1 ) (точка ( (-1, -1) ))
- При ( x = 0 ): ( y = 0 ) (точка ( (0, 0) ))
- При ( x = 1 ): ( y = 1 ) (точка ( (1, 1) ))
Построив эти точки на координатной плоскости, соединяем их прямой линией.
2. Построение графика второго уравнения ( y = 3x - 4 ):
Уравнение ( y = 3x - 4 ) также представляет собой прямую. Здесь угловой коэффициент равен ( 3 ), что означает, что прямая поднимается на 3 единицы вверх при смещении на 1 единицу вправо. Свободный член ( -4 ) показывает, что прямая пересекает ось ( y ) в точке ( (0, -4) ).
Для построения прямой также возьмем несколько точек:
- При ( x = 0 ): ( y = 3 \cdot 0 - 4 = -4 ) (точка ( (0, -4) ))
- При ( x = 2 ): ( y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2 ) (точка ( (2, 2) ))
- При ( x = 1 ): ( y = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1 ) (точка ( (1, -1) ))
Построив эти точки на координатной плоскости, соединяем их прямой линией.
3. Определение точки пересечения двух прямых:
Точка пересечения двух прямых является решением данной системы уравнений. Для нахождения точки пересечения найдем координаты ( (x, y) ), где обе прямые пересекаются.
Итак, нам нужно решить:
[
y = x \quad \text{и} \quad y = 3x - 4
]
Подставим ( y = x ) из первого уравнения во второе:
[
x = 3x - 4
]
Решим это уравнение:
[
x - 3x = -4
]
[
-2x = -4
]
[
x = 2
]
Теперь найдем ( y ), подставив ( x = 2 ) в первое уравнение ( y = x ):
[
y = 2
]
Таким образом, точка пересечения имеет координаты ( (2, 2) ).
4. Ответ:
Графическое решение показывает, что прямые пересекаются в точке ( (2, 2) ). Это и является решением данной системы уравнений.