Решите графически систему уравнений {y=x;y=3x-4

Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики обеих функций и определить их точки пересечения.

1. Уравнение (y = x) — это прямая, проходящая через начало координат с углом наклона 45°.
2. Уравнение (y = 3x - 4) — это прямая с углом наклона 3 и с точкой пересечения с осью y в точке (0, -4).

Нарисовав обе прямые на координатной плоскости, можно увидеть, что они пересекаются в одной точке.

Решение системы: точка пересечения — ( (2, 2) ).

Рассмотрим решение системы уравнений графическим методом:

Нам дана система:

1. ( y = x )
2. ( y = 3x - 4 )

1. Построение графика первого уравнения ( y = x ):

Уравнение ( y = x ) представляет собой прямую, которая проходит через начало координат (точка ( (0, 0) )), так как при ( x = 0 ), ( y = 0 ). У этой прямой угловой коэффициент равен ( 1 ), что означает, что она поднимается вверх под углом ( 45^\circ ) (на единицу вверх при смещении на единицу вправо).

Для построения прямой достаточно взять несколько точек:

• При ( x = -1 ): ( y = -1 ) (точка ( (-1, -1) ))
• При ( x = 0 ): ( y = 0 ) (точка ( (0, 0) ))
• При ( x = 1 ): ( y = 1 ) (точка ( (1, 1) ))

Построив эти точки на координатной плоскости, соединяем их прямой линией.

2. Построение графика второго уравнения ( y = 3x - 4 ):

Уравнение ( y = 3x - 4 ) также представляет собой прямую. Здесь угловой коэффициент равен ( 3 ), что означает, что прямая поднимается на 3 единицы вверх при смещении на 1 единицу вправо. Свободный член ( -4 ) показывает, что прямая пересекает ось ( y ) в точке ( (0, -4) ).

Для построения прямой также возьмем несколько точек:

• При ( x = 0 ): ( y = 3 \cdot 0 - 4 = -4 ) (точка ( (0, -4) ))
• При ( x = 2 ): ( y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2 ) (точка ( (2, 2) ))
• При ( x = 1 ): ( y = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1 ) (точка ( (1, -1) ))

Построив эти точки на координатной плоскости, соединяем их прямой линией.

3. Определение точки пересечения двух прямых:

Точка пересечения двух прямых является решением данной системы уравнений. Для нахождения точки пересечения найдем координаты ( (x, y) ), где обе прямые пересекаются.

Итак, нам нужно решить:

[ y = x \quad \text{и} \quad y = 3x - 4 ]

Подставим ( y = x ) из первого уравнения во второе:

[ x = 3x - 4 ]

Решим это уравнение:

[ x - 3x = -4 ] [ -2x = -4 ] [ x = 2 ]

Теперь найдем ( y ), подставив ( x = 2 ) в первое уравнение ( y = x ):

[ y = 2 ]

Таким образом, точка пересечения имеет координаты ( (2, 2) ).

4. Ответ:

Графическое решение показывает, что прямые пересекаются в точке ( (2, 2) ). Это и является решением данной системы уравнений.

Для графического решения системы уравнений ({y = x; y = 3x - 4}) необходимо построить графики обоих уравнений и найти их точки пересечения.

Шаг 1: Построение графиков уравнений

1. График первого уравнения: (y = x)

   Это уравнение представляет собой прямую, которая проходит через начало координат (0, 0) и имеет угол наклона 45 градусов. Для построения графика можно взять несколько значений (x) и найти соответствующие значения (y):

   • Если (x = -2), то (y = -2) (точка ((-2, -2)))
   • Если (x = 0), то (y = 0) (точка ((0, 0)))
   • Если (x = 2), то (y = 2) (точка ((2, 2)))

   Соединив эти точки, мы получим прямую линию.

2. График второго уравнения: (y = 3x - 4)

   Это также прямая, но с другим углом наклона. Для построения графика найдем несколько точек:

   • Если (x = 0), то (y = 3(0) - 4 = -4) (точка ((0, -4)))
   • Если (x = 1), то (y = 3(1) - 4 = -1) (точка ((1, -1)))
   • Если (x = 2), то (y = 3(2) - 4 = 2) (точка ((2, 2)))

   Соединив эти точки, мы получим другую прямую.

Шаг 2: Нахождение точек пересечения

Теперь, когда обе прямые изображены на координатной плоскости, необходимо найти точку их пересечения, которая будет решением системы уравнений. Чтобы сделать это, можно:

1. Графически: Посмотреть, где пересекаются две линии. В нашем случае, видно, что обе линии пересекаются в точке ((2, 2)).

2. Алгебраически: Можно также решить систему уравнений, подставив одно уравнение в другое. Подставим (y = x) в (y = 3x - 4):

   [ x = 3x - 4 ]

   Переносим все члены с (x) в одну сторону:

   [ x - 3x = -4 \quad \Rightarrow \quad -2x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ]

   Теперь подставим найденное значение (x) в первое уравнение:

   [ y = x = 2 ]

Таким образом, точка пересечения, а следовательно, решение системы уравнений: ((2, 2)).

Заключение

Графически мы нашли, что система уравнений ({y = x; y = 3x - 4}) имеет одно решение, которое соответствует точке пересечения графиков: ((2, 2)).