Решите графически уравнение 4х^-2 = х + 3

Для решения уравнения (4x^{-2} = x + 3) графическим методом, следует построить графики двух функций и найти их точки пересечения. В данном случае, это функции (y = 4x^{-2}) и (y = x + 3).

1. Преобразуем уравнение: Уравнение имеет вид (4x^{-2} = x + 3). Мы выразили каждую часть уравнения как отдельную функцию:

   • (y_1 = 4x^{-2})
   • (y_2 = x + 3)

2. Построение графиков:

   • График функции (y_1 = 4x^{-2}): Это гипербола. Заметим, что (x^{-2} = \frac{1}{x^2}), поэтому (y_1 = \frac{4}{x^2}). График этой функции будет симметричен относительно оси (y) (так как (\frac{1}{x^2}) положительно при любом (x \neq 0)). При (x \to 0) значение функции стремится к бесконечности, а при увеличении (|x|) значение функции стремится к нулю.

     Например:

     • При (x = 1), (y_1 = 4)
     • При (x = -1), (y_1 = 4)
     • При (x = 2), (y_1 = 1)
     • При (x = -2), (y_1 = 1)

   • График функции (y_2 = x + 3): Это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и смещением по оси (y) на 3 единицы вверх.

     Например:

     • При (x = 0), (y_2 = 3)
     • При (x = 1), (y_2 = 4)
     • При (x = -1), (y_2 = 2)

3. Построение графиков на координатной плоскости:

   • Нарисуйте оси координат.
   • Постройте гиперболу (y = \frac{4}{x^2}), отмечая ключевые точки и соблюдая симметрию.
   • Постройте прямую (y = x + 3), отмечая хотя бы две точки для точного построения линии.

4. Нахождение точек пересечения: Точки пересечения графиков дадут решения уравнения (4x^{-2} = x + 3). Эти точки надо найти визуально на графике, а затем уточнить вычислениями.

5. Аналитическое уточнение:

   Приравняем функции: [ 4x^{-2} = x + 3 ] Умножим обе части уравнения на (x^2): [ 4 = (x + 3)x^2 ] Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: [ x^3 + 3x^2 - 4 = 0 ]

   Решим это кубическое уравнение. Например, методом подбора или с использованием теоремы Виета можно найти корни.

   Попробуем (x = 1): [ 1^3 + 3(1^2) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 ] Это значит, что (x = 1) является корнем.

   Поделим уравнение на ((x-1)) методом деления многочленов: [ x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) ]

   Решим квадратное уравнение: [ x^2 + 4x + 4 = 0 ] Дискриминант: [ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 ] Корень: [ x = -\frac{4}{2} = -2 ]

   Итак, корни уравнения: [ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -2 ]

6. Проверка корней: Подставим (x = 1) и (x = -2) в исходное уравнение:

   • (x = 1): [ 4 \cdot 1^{-2} = 1 + 3 \quad \Rightarrow \quad 4 = 4 \quad \text{(верно)} ]
   • (x = -2): [ 4 \cdot (-2)^{-2} = -2 + 3 \quad \Rightarrow \quad 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 = 1 \quad \text{(верно)} ]

Таким образом, решения уравнения (4x^{-2} = x + 3) графически и аналитически подтверждены и равны (x = 1) и (x = -2).

Для решения графически уравнения 4x^-2 = x + 3, нужно построить график обеих функций и найти точку их пересечения.

Для решения данного уравнения графически, мы можем представить обе части уравнения в виде графиков и найти точку их пересечения.

Сначала построим график функции y = 4x^(-2) и функции y = x + 3. График функции y = 4x^(-2) будет представлять собой гиперболу, а график функции y = x + 3 - прямую.

После построения графиков, нам нужно найти точку их пересечения. Эта точка будет соответствовать решению уравнения 4x^(-2) = x + 3.

После нахождения точки пересечения, мы можем убедиться, что это действительно решение уравнения, подставив найденное значение x обратно в уравнение и проверив его.

Таким образом, решая уравнение графически, мы можем найти точное значение x, при котором выполняется равенство 4x^(-2) = x + 3.