Решите графически уравнение √х=6-х

Для решения уравнения √x = 6 - x графически, мы можем нарисовать графики функций y = √x и y = 6 - x и найти точку их пересечения.

График функции y = √x представляет собой полуокружность, начинающуюся в точке (0,0) и расположенную в первом и втором квадрантах. График функции y = 6 - x представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом -1 и сдвигом по оси y равным 6.

Точка пересечения этих двух графиков будет являться решением уравнения √x = 6 - x. Поэтому, чтобы найти это пересечение, мы должны найти точку, в которой значение функции √x равно значению функции 6 - x.

Построив графики этих функций на координатной плоскости и найдя их точку пересечения, мы можем получить графическое решение уравнения √x = 6 - x.

Чтобы решить уравнение (\sqrt{x} = 6 - x) графически, следуйте следующим шагам:

1. Определите функции:

   • Первая функция: (y_1 = \sqrt{x})
   • Вторая функция: (y_2 = 6 - x)

2. Постройте графики функций:

   • График функции (y_1 = \sqrt{x}) представляет собой половину параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит в положительном направлении вдоль оси x, так как корень определён только для неотрицательных значений x.
   • График функции (y_2 = 6 - x) является прямой с отрицательным угловым коэффициентом, которая пересекает ось y в точке (0, 6) и ось x в точке (6, 0).

3. Найдите точки пересечения:

   • Чтобы найти точки пересечения графиков, ищем такие x, при которых значения функций совпадают: (\sqrt{x} = 6 - x).
   • Это уравнение определено для x ≥ 0, так как (\sqrt{x}) не определена для отрицательных x.

4. Построение системы уравнений:

   • Решите уравнение (\sqrt{x} = 6 - x) алгебраически для проверки. Возведите обе стороны в квадрат: [ (\sqrt{x})^2 = (6 - x)^2 ] [ x = 36 - 12x + x^2 ]
   • Перенесите все в одну сторону: [ x^2 - 13x + 36 = 0 ]

5. Решите квадратное уравнение:

   • Найдите корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта или формулы: [ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 5}{2} ] [ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 ]

6. Проверка:

   • Подставьте найденные значения x в начальное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют уравнению (\sqrt{x} = 6 - x):
     • Для (x = 9): (\sqrt{9} = 3) и (6 - 9 = -3), не подходит.
     • Для (x = 4): (\sqrt{4} = 2) и (6 - 4 = 2), подходит.

7. Ответ:

   • Единственное решение уравнения (\sqrt{x} = 6 - x) — это (x = 4).

Таким образом, графически и алгебраически решение задачи подтверждает, что точка пересечения графиков и решение уравнения — это (x = 4).