Для решения уравнения (\sqrt{x} = x^2) графически мы будем работать с графиками двух функций: (y_1 = \sqrt{x}) и (y_2 = x^2). Найдем точки их пересечения, так как решения уравнения соответствуют значениям (x), при которых (y_1 = y_2).
Шаг 1. Анализ функций
(y_1 = \sqrt{x}):
- Определена для (x \geq 0), так как квадратный корень из отрицательного числа не существует.
- Функция возрастает на области определения.
- График проходит через точку ((0, 0)) и плавно увеличивается вправо.
(y_2 = x^2):
- Определена для всех (x \in \mathbb{R}).
- Функция симметрична относительно оси (y) и возрастает для (x > 0) и (x < 0).
- График проходит через точку ((0, 0)) и имеет характерную параболическую форму.
Шаг 2. Построение графиков
- Построим график (y_1 = \sqrt{x}). Это будет кривая, начинающаяся в точке ((0, 0)) и плавно возрастающая вправо.
- Построим график (y_2 = x^2). Это парабола, проходящая через точку ((0, 0)), которая уходит вверх влево и вправо.
Шаг 3. Поиск точек пересечения
Точки пересечения двух графиков соответствуют решениям уравнения (\sqrt{x} = x^2).
Анализ:
В точке (x = 0):
Подставим (x = 0) в уравнение.
(\sqrt{0} = 0^2 \implies 0 = 0).
Значит, (x = 0) — решение.
Для (x > 0):
Оба графика возрастают, но с разной скоростью. Функция (y_1 = \sqrt{x}) возрастает медленнее, чем (y_2 = x^2), после некоторого значения (x).
Проверим, где еще они равны:
(\sqrt{x} = x^2 \implies x = x^4 \implies x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x^3 = 1 \implies x = 1).
Итог:
Точки пересечения графиков: (x = 0) и (x = 1).
Шаг 4. Ответ
Решения уравнения (\sqrt{x} = x^2):
[
x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1.
]