Решите log3(x^2-3x-5)=log3(7-2x)

Тематика Алгебра
Уровень 10 - 11 классы
логарифмы уравнения решение уравнений логарифмические уравнения математика алгебра математическое решение
0

Решите log3(x^2-3x-5)=log3(7-2x)

avatar
задан 2 месяца назад

3 Ответа

0

x = 5

avatar
ответил 2 месяца назад
0

Для решения уравнения ( \log_3(x^2 - 3x - 5) = \log_3(7 - 2x) ) необходимо воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что если ( \log_b(A) = \log_b(B) ), то ( A = B ), при условии, что ( A > 0 ) и ( B > 0 ).

  1. Применение свойства логарифмов:

    Из уравнения ( \log_3(x^2 - 3x - 5) = \log_3(7 - 2x) ) следует, что: [ x^2 - 3x - 5 = 7 - 2x ]

  2. Перенос всех членов уравнения в одну сторону:

    Переносим все члены уравнения в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения: [ x^2 - 3x - 5 - 7 + 2x = 0 ] [ x^2 - x - 12 = 0 ]

  3. Решение квадратного уравнения:

    Квадратное уравнение ( x^2 - x - 12 = 0 ) можно решить с использованием формулы для корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -12 ).

    Подставляем значения: [ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} ] [ x = \frac{1 \pm 7}{2} ]

    Получаем два корня: [ x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4 ] [ x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3 ]

  4. Проверка условий существования логарифмов:

    Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения ( x ) условиям, при которых выражения под логарифмами положительны.

    Для ( x = 4 ): [ x^2 - 3x - 5 = 4^2 - 3 \cdot 4 - 5 = 16 - 12 - 5 = -1 \quad (\text{не удовлетворяет}) ]

    Для ( x = -3 ): [ x^2 - 3x - 5 = (-3)^2 - 3 \cdot (-3) - 5 = 9 + 9 - 5 = 13 \quad (\text{удовлетворяет}) ] [ 7 - 2x = 7 - 2 \cdot (-3) = 7 + 6 = 13 \quad (\text{удовлетворяет}) ]

    Таким образом, только значение ( x = -3 ) удовлетворяет условиям задачи.

  5. Ответ:

    Единственное решение уравнения ( \log_3(x^2 - 3x - 5) = \log_3(7 - 2x) ) является: [ x = -3 ]

Таким образом, ( x = -3 ) является решением данного логарифмического уравнения.

avatar
ответил 2 месяца назад
0

Для решения уравнения log3(x^2-3x-5)=log3(7-2x) необходимо применить свойство логарифмов, согласно которому, если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то их аргументы также равны.

Итак, мы имеем:

x^2 - 3x - 5 = 7 - 2x

Приравниваем обе части уравнения к нулю:

x^2 - 3x - 5 - 7 + 2x = 0

x^2 - x - 12 = 0

Теперь решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-1)^2 - 41(-12) = 1 + 48 = 49

x1,2 = (1 ± √49)/2*1 = (1 ± 7)/2

x1 = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4

x2 = (1 - 7)/2 = -6/2 = -3

Итак, решения уравнения log3(x^2-3x-5)=log3(7-2x) равны x = 4 и x = -3.

avatar
ответил 2 месяца назад

Ваш ответ