Решите неравенство 2х в квадрате-7х-4 меньше или равно 0

Для решения неравенства (2x^2 - 7x - 4 \leq 0) следует выполнить несколько шагов.

1. Найдем корни квадратного уравнения:
   Сначала решим уравнение (2x^2 - 7x - 4 = 0) с помощью квадратной формулы: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где (a = 2), (b = -7), (c = -4).

   Подставим значения в формулу: [ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} ] [ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} ] [ x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} ] [ x = \frac{7 \pm 9}{4} ]

   Это дает нам два корня: [ x_1 = \frac{7 + 9}{4} = 4 ] [ x_2 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2} ]

2. Определим интервалы для проверки знака:
   Корни уравнения делят числовую ось на три интервала: ((-\infty, -\frac{1}{2})), ((- \frac{1}{2}, 4)), и ((4, +\infty)).

3. Проверим знак на каждом интервале:

   • Для интервала ((-\infty, -\frac{1}{2})), выберем тестовую точку, например, (x = -1): [ 2(-1)^2 - 7(-1) - 4 = 2 + 7 - 4 = 5 > 0 ] На этом интервале выражение положительно.

   • Для интервала ((- \frac{1}{2}, 4)), выберем тестовую точку, например, (x = 0): [ 2(0)^2 - 7(0) - 4 = -4 < 0 ] На этом интервале выражение отрицательно.

   • Для интервала ((4, +\infty)), выберем тестовую точку, например, (x = 5): [ 2(5)^2 - 7(5) - 4 = 50 - 35 - 4 = 11 > 0 ] На этом интервале выражение положительно.

4. Запишем решение неравенства:
   Неравенство (2x^2 - 7x - 4 \leq 0) выполняется на интервале, где выражение отрицательно или равно нулю, то есть на ([- \frac{1}{2}, 4]).

Таким образом, решением неравенства является интервал: [ x \in \left[-\frac{1}{2}, 4\right] ]

2x^2 - 7x - 4

Для решения данного неравенства 2x^2 - 7x - 4 ≤ 0 используем метод дискриминантов.

1. Находим корни уравнения 2x^2 - 7x - 4 = 0: D = (-7)^2 - 42(-4) = 49 + 32 = 81 x1,2 = (7 ± √81) / 4 x1 = (7 + 9) / 4 = 4 x2 = (7 - 9) / 4 = -1/2

2. Построим таблицу знаков, используя найденные корни: x | -∞ | -1/2 | 4 | +∞ ---|---------|------|-----|----- 2x^2 - 7x - 4 | + | - | + | +

3. Следовательно, неравенство 2x^2 - 7x - 4 ≤ 0 выполняется на интервалах (-∞, -1/2] и [4, +∞).

Ответ: x ∈ [-1/2, 4].