Решите неравенство (5-2x)([tex]log _{-x^2+4x-3} (x-1)[/tex] ≥0

Неравенство решено.

Для решения данного неравенства необходимо рассмотреть каждый множитель отдельно.

1. (5-2x) ≥ 0 Для этого неравенства найдем корни уравнения 5-2x = 0: 5 - 2x = 0 2x = 5 x = 2.5

Таким образом, данный множитель положителен при x ≤ 2.5.

1. log_{-x^2+4x-3} (x-1) ≥ 0 Для этого неравенства необходимо рассмотреть знак аргумента логарифма -x^2+4x-3: -x^2+4x-3 > 0 (x-1)(x-3) > 0 x < 1 или x > 3

Таким образом, данное неравенство выполняется при x < 1 или x > 3.

Теперь объединим оба условия: x ≤ 2.5 и (x < 1 или x > 3)

Итак, решение данного неравенства: x ≤ 2.5, x < 1 или x > 3.

Чтобы решить данное неравенство ((5-2x)(\log_{-x^2+4x-3}(x-1)) \geq 0), нам необходимо рассмотреть два основных условия:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) для логарифма, который содержит переменные как в основании, так и в аргументе.
2. Разбор неравенства на основе знаков множителей.

Шаг 1: Определение ОДЗ

Для логарифма (\log_{-x^2+4x-3}(x-1)) должны выполняться следующие условия:

• Основание логарифма (-x^2 + 4x - 3) должно быть положительным и не равным единице.
• Аргумент логарифма (x-1) должен быть положительным.

Давайте разберем каждое из них:

1.1. Основание логарифма положительное: [ -x^2 + 4x - 3 > 0 ] Решаем квадратное неравенство: [ -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x-1)(x-3) ] Корни квадратного уравнения (x = 1) и (x = 3). Разложение на множители дает ((1-x)(3-x)), так что неравенство принимает вид: [ (1-x)(3-x) > 0 ] Решение этого неравенства на числовой прямой дает (1 < x < 3).

1.2. Аргумент логарифма положительный: [ x - 1 > 0 ] [ x > 1 ]

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь рассмотрим само неравенство ((5-2x)(\log_{-x^2+4x-3}(x-1)) \geq 0). Здесь нам нужно учесть знаки множителей:

• (5 - 2x) равно нулю при (x = \frac{5}{2}).
• (\log_{-x^2+4x-3}(x-1)) меняет знак при переходе через точки, в которых аргумент равен основанию логарифма, т.е. когда (x - 1 = -x^2 + 4x - 3), то есть (x = 2).

Теперь объединяем условия и анализируем интервалы:

• (1 < x < 2): (5 - 2x > 0), (\log_{-x^2+4x-3}(x-1) < 0), произведение отрицательно.
• (2 < x < 3): (5 - 2x > 0), (\log_{-x^2+4x-3}(x-1) > 0), произведение положительно.

Итак, искомые интервалы, удовлетворяющие неравенству: [ 2 \leq x < \frac{5}{2} \text{ и } 3 ] без точки (x = 3), так как там основание логарифма равно нулю.