Решите неравенство а) (x-2)(x+2)/x-3 <0 б) x^2-10x+25/x^2-4x-12 ≥0

Для решения данных неравенств необходимо сначала найти нули числителя и знаменателя каждого выражения, а затем использовать метод интервалов.

а) Рассмотрим неравенство (\frac{(x-2)(x+2)}{x-3} < 0).

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

• Числитель: ((x-2)(x+2) = 0). Нули числителя: (x = 2) и (x = -2).
• Знаменатель: (x - 3 = 0). Нуль знаменателя: (x = 3).

Шаг 2: Определим знаки на интервалах.

• Разобьем числовую прямую точками (x = -2), (x = 2), и (x = 3).
• Интервалы: ((-∞, -2)), ((-2, 2)), ((2, 3)), и ((3, +∞)).
• Проверим знаки выражения ((x-2)(x+2)) в каждом интервале, учитывая, что (x-3) меняет знак в точке (x = 3).

Шаг 3: Исключим точку (x = 3) из рассмотрения, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль.

Шаг 4: Найдем интервалы, где выражение отрицательно:

• ((-∞, -2)): ((x-2)(x+2) > 0), (x - 3 < 0), выражение положительно.
• ((-2, 2)): ((x-2)(x+2) < 0), (x - 3 < 0), выражение положительно.
• ((2, 3)): ((x-2)(x+2) > 0), (x - 3 < 0), выражение отрицательно.

Ответ: (x \in (2, 3)).

б) Рассмотрим неравенство (\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12} \geq 0).

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

• Числитель: (x^2-10x+25 = (x-5)^2). Нуль числителя: (x = 5).
• Знаменатель: (x^2-4x-12 = (x-6)(x+2)). Нули знаменателя: (x = 6) и (x = -2).

Шаг 2: Определим знаки на интервалах.

• Интервалы: ((-∞, -2)), ((-2, 5)), ((5, 6)), и ((6, +∞)).
• Проверим знаки выражения (x^2-10x+25) и (x^2-4x-12) на каждом интервале.

Шаг 3: Исключим точки (x = -2) и (x = 6), так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

Шаг 4: Найдем интервалы, где выражение неотрицательно:

• ((-∞, -2)): выражение положительно.
• ((-2, 5)): выражение положительно.
• ((5, 6)): выражение отрицательно.
• ((6, +∞)): выражение положительно.

Ответ: (x \in (-∞, -2] \cup [-2, 5] \cup (6, +∞)).

а) Неравенство (x-2)(x+2)/x-3 < 0 можно решить, используя метод интервалов. Сначала найдем точки разрыва функции: x=3. Затем найдем нули числителя и знаменателя: x=2, x=-2 и x=3. Построим знаки на каждом интервале и найдем решение неравенства: (-бесконечность;-2) ∪ (2;3).

б) Неравенство x^2-10x+25/x^2-4x-12 ≥ 0 можно решить, найдя корни знаменателя и числителя: x=3, x=4 и x=-2. Затем построим знаки на каждом интервале и найдем решение неравенства: (-бесконечность;-2) ∪ [3;4].