Решите неравенство: (даю 40 баллов) x(x+4)(x-9)<=0

Для решения неравенства ( x(x+4)(x-9) \leq 0 ) необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите нули функции

Определим значения ( x ), при которых произведение равно нулю. Эти значения получаются из следующих уравнений:

1. ( x = 0 )
2. ( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 )
3. ( x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9 )

Таким образом, критические точки, где функция обращается в ноль, — это ( x = -4 ), ( x = 0 ), и ( x = 9 ).

Шаг 2: Разделите числовую прямую на интервалы

Эти критические точки делят числовую прямую на четыре интервала:

1. ( (-\infty, -4) )
2. ( (-4, 0) )
3. ( (0, 9) )
4. ( (9, \infty) )

Шаг 3: Определите знак произведения на каждом интервале

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение ( x(x+4)(x-9) ), чтобы определить знак на каждом интервале.

1. Интервал ((-∞, -4)):
   Тестовая точка: ( x = -5 )
   ((-5)((-5)+4)((-5)-9) = (-5)(-1)(-14) = 70), знак положительный.

2. Интервал ((-4, 0)):
   Тестовая точка: ( x = -2 )
   ((-2)((-2)+4)((-2)-9) = (-2)(2)(-11) = 44), знак положительный.

3. Интервал ((0, 9)):
   Тестовая точка: ( x = 5 )
   (5(5+4)(5-9) = 5 \cdot 9 \cdot (-4) = -180), знак отрицательный.

4. Интервал ((9, ∞)):
   Тестовая точка: ( x = 10 )
   (10(10+4)(10-9) = 10 \cdot 14 \cdot 1 = 140), знак положительный.

Шаг 4: Определите решение неравенства

Нам нужно найти, где произведение ( x(x+4)(x-9) \leq 0 ), то есть где оно отрицательное или равно нулю:

• На интервале ((0, 9)) произведение отрицательное.
• В точках ( x = -4 ), ( x = 0 ), и ( x = 9 ) произведение равно нулю.

Таким образом, решением неравенства будет:

[ x \in [-4, 0] \cup [0, 9] ]

Итог

Решение неравенства ( x(x+4)(x-9) \leq 0 ) — это объединение промежутков ([-4, 0] \cup [0, 9]).

Неравенство будет иметь три интервала: (-∞, -4), (-4, 0), (9, +∞). Ответ: x ∈ (-4, 0] ∪ [9, +∞)

Для решения данного неравенства необходимо определить интервалы, в которых неравенство выполняется.

1. Найдем корни уравнения x(x+4)(x-9) = 0: x = 0, x = -4, x = 9

2. Построим знаки многочлена при x < -4, -4 < x < 0, 0 < x < 9, x > 9:

   • • • • +

3. Из этого видно, что неравенство выполняется на интервалах (-∞, -4), (0, 9]

Таким образом, решением неравенства x(x+4)(x-9) ≤ 0 является множество всех x, принадлежащих интервалу (-∞, -4] объединенному с [0, 9].