Решите неравенство дробь х^2-10х+25 - числитель делить на x^2-4x-12 и всё это больше или равно нулю

Для решения данного неравенства нам необходимо найти корни числителя и знаменателя, чтобы определить интервалы, на которых неравенство будет выполняться.

Начнем с нахождения корней числителя: x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 Корень уравнения x^2 - 10x + 25 равен х = 5.

Теперь найдем корни знаменателя: x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) Корни уравнения x^2 - 4x - 12 равны x = 6 и x = -2.

Итак, у нас имеются три корня: x = 5, x = 6 и x = -2. Теперь построим знаки многочленов в каждом из интервалов:

1. x < -2: (-)(-)/(--), что равно +. Неравенство не выполняется.

2. -2 < x < 5: (-)(+)/(--), что равно -. Неравенство не выполняется.

3. 5 < x < 6: (+)(+)/(+-), что равно +. Неравенство выполняется.

4. x > 6: (+)(+)/(++), что равно +. Неравенство выполняется.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал x принадлежащий (5, 6] или x > 6.

Для решения неравенства (\frac{x^2-10x+25}{x^2-4x-12} \geq 0) начнем с упрощения числителя и знаменателя и анализа их корней.

1. Упрощение и корни:

   • Числитель: (x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2). Корень здесь один (x = 5), но он в квадрате, поэтому точка (x = 5) будет точкой пересечения графика функции с осью (x).
   • Знаменатель: (x^2 - 4x - 12). Разложим на множители: [ x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) ] Корни здесь (x = 6) и (x = -2).

2. Точки, которые нужно рассмотреть: (x = -2), (x = 5), и (x = 6).

3. Знаки интервалов:

   • Исследуем знаки функции на интервалах ((-∞, -2)), ((-2, 5)), ((5, 6)), и ((6, +∞)).
   • Подставим точки из каждого интервала в выражение (\frac{(x-5)^2}{(x-6)(x+2)}):
     • Для (x < -2) (например, (x = -3)): (\frac{64}{-3}) - отрицательно.
     • Для (-2 < x < 5) (например, (x = 0)): (\frac{25}{-12}) - отрицательно.
     • Для (5 < x < 6) (например, (x = 5.5)): (\frac{0.25}{-0.5}) - положительно.
     • Для (x > 6) (например, (x = 7)): (\frac{4}{5}) - положительно.

4. Точки разрыва и корни:

   • (x = -2) и (x = 6) – точки разрыва (нули знаменателя). Эти значения не входят в допустимое множество решений.
   • (x = 5) - корень числителя. При (x = 5) весь дробь равен нулю, что соответствует неравенству (\geq 0).

5. Ответ:

   • Интервалы, на которых выражение неотрицательно: ([5, 6)) и ((6, +∞)).
   • Точка (x = 5) включается как корень числителя, обращающий дробь в ноль.
   • Точки (x = -2) и (x = 6) не включаются в ответ, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, что делает дробь неопределенной.

Итак, ответ: (x \in [5, 6) \cup (6, +∞)).