Решите неравенство (х-2)(х+2)/ х-3<0

Для решения неравенства (\frac{(x-2)(x+2)}{x-3} < 0) необходимо выполнить несколько шагов, чтобы определить интервалы, где это неравенство выполняется.

1. Найдите нули числителя и знаменателя:

   • Числитель ((x-2)(x+2)) равен нулю, если (x-2=0) или (x+2=0), то есть (x=2) и (x=-2).
   • Знаменатель (x-3) равен нулю при (x=3).

2. Определите критические точки:

   Критическими точками, где функция может менять знак, являются (x = -2), (x = 2) и (x = 3).

3. Разделите числовую ось на интервалы:

   Критические точки делят числовую ось на интервалы:

   • ((-\infty, -2))
   • ((-2, 2))
   • ((2, 3))
   • ((3, \infty))

4. Определите знак выражения в каждом интервале:

   Выберите тестовые точки из каждого интервала и определите знак выражения (\frac{(x-2)(x+2)}{x-3}):

   • Для интервала ((-\infty, -2)), возьмем (x = -3): [ \frac{(-3-2)(-3+2)}{-3-3} = \frac{(-5)(-1)}{-6} = \frac{5}{-6} < 0 ] Знак отрицательный.

   • Для интервала ((-2, 2)), возьмем (x = 0): [ \frac{(0-2)(0+2)}{0-3} = \frac{(-2)(2)}{-3} = \frac{-4}{-3} > 0 ] Знак положительный.

   • Для интервала ((2, 3)), возьмем (x = 2.5): [ \frac{(2.5-2)(2.5+2)}{2.5-3} = \frac{(0.5)(4.5)}{-0.5} = \frac{2.25}{-0.5} < 0 ] Знак отрицательный.

   • Для интервала ((3, \infty)), возьмем (x = 4): [ \frac{(4-2)(4+2)}{4-3} = \frac{(2)(6)}{1} = 12 > 0 ] Знак положительный.

5. Запишите решение:

   Неравенство выполняется там, где выражение отрицательно. Это происходит на интервалах ((-\infty, -2)) и ((2, 3)).

6. Учитывайте точки, где выражение не определено:

   Точка (x=3) делает знаменатель равным нулю, и функция не определена, поэтому она не включается в решение.

Таким образом, решение неравенства (\frac{(x-2)(x+2)}{x-3} < 0) – это объединение интервалов: [ x \in (-\infty, -2) \cup (2, 3) ]

Для того чтобы решить данное неравенство, сначала найдем его область допустимых значений. В данном случае, значения х не должны равняться 3, так как это приведет к делению на ноль. Следовательно, область допустимых значений: х ≠ 3.

Теперь проанализируем знак выражения (х-2)(х+2) при различных значениях х. 1) Когда x < -2, оба множителя (х-2) и (х+2) отрицательны, и их произведение положительно. 2) Когда -2 < x < 2, множитель (х-2) отрицателен, а множитель (х+2) положителен, и их произведение отрицательно. 3) Когда x > 2, оба множителя (х-2) и (х+2) положительны, и их произведение снова положительно.

Таким образом, решение неравенства (х-2)(х+2)/х-3 < 0: 1) x < -2 2) 2 < x < 3

Итак, неравенство выполняется при x < -2 и 2 < x < 3.

Ответ: x < -2 или 2 < x < 3.