Решите неравенство -х^2-2х≤0

Давайте внимательно разберем и решим неравенство:

[

• x^2 - 2x \leq 0 ]

Шаг 1. Вынесем общий множитель

В данном случае можно вынести (-x) за скобки:

[

• x (x + 2) \leq 0 ]

Шаг 2. Найдем корни

Чтобы решить неравенство, сначала найдем нули выражения, то есть точки, где левая часть равна нулю. Приравниваем выражение к нулю:

[

• x (x + 2) = 0 ]

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

[

• x = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0 ]

Отсюда получаем два корня:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -2 ]

Шаг 3. Определим знаки выражения

Теперь нужно определить знаки выражения (-x(x + 2)) на промежутках, разбитых корнями (-2) и (0). Эти корни делят числовую прямую на три промежутка:

1. (x \in (-\infty, -2)),
2. (x \in (-2, 0)),
3. (x \in (0, +\infty)).

Возьмем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в выражение (-x(x + 2)), чтобы определить знак.

Промежуток (x \in (-\infty, -2)):

Выберем (x = -3). Подставим в (-x(x + 2)):

[ -x(-3)((-3) + 2) = -(-3)(-1) = -3 \cdot -1 = 3 \quad (\text{положительное значение}). ]

На этом промежутке выражение положительно.

Промежуток (x \in (-2, 0)):

Выберем (x = -1). Подставим в (-x(x + 2)):

[ -x(-1)((-1) + 2) = -(-1)(1) = -1 \cdot 1 = -1 \quad (\text{отрицательное значение}). ]

На этом промежутке выражение отрицательно.

Промежуток (x \in (0, +\infty)):

Выберем (x = 1). Подставим в (-x(x + 2)):

[ -x(1)((1) + 2) = -(1)(3) = -3 \quad (\text{отрицательное значение}). ]

На этом промежутке выражение также отрицательно.

Шаг 4. Учитываем неравенство (\leq 0)

Нам нужно найти, где выражение (-x(x + 2) \leq 0). Это означает, что нас интересуют те промежутки, где выражение отрицательно или равно нулю.

1. Равно нулю оно в точках (x = -2) и (x = 0).
2. Отрицательно на промежутке (x \in (-2, 0)).

Итак, решением неравенства является:

[ x \in [-2, 0]. ]

Ответ:

Решение неравенства:

[ x \in [-2, 0]. ]

Чтобы решить неравенство (-x^2 - 2x \leq 0), начнем с приведения его к более удобному виду. Мы можем умножить все части неравенства на (-1). При этом неравенство поменяет свой знак:

[ x^2 + 2x \geq 0. ]

Теперь мы можем решить неравенство (x^2 + 2x \geq 0). Сначала найдем корни соответствующего равенства (x^2 + 2x = 0):

[ x(x + 2) = 0. ]

Это уравнение имеет два корня:

[ x = 0 \quad \text{и} \quad x + 2 = 0 \implies x = -2. ]

Таким образом, корни неравенства (x^2 + 2x \geq 0) – это (x = 0) и (x = -2).

Теперь разделим числовую ось на три интервала с учетом найденных корней:

1. ( (-\infty, -2) )
2. ( [-2, 0] )
3. ( (0, +\infty) )

Теперь проверим знак выражения (x^2 + 2x) на каждом из этих интервалов.

1. Для интервала ((- \infty, -2)): Выберем точку, например, (x = -3): [ (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 \quad (\text{положительный знак}). ]

2. Для интервала ([-2, 0]): Выберем точку, например, (x = -1): [ (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \quad (\text{отрицательный знак}). ]

3. Для интервала ((0, +\infty)): Выберем точку, например, (x = 1): [ (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 \quad (\text{положительный знак}). ]

Теперь подведем итог:

• На интервале ((- \infty, -2)) выражение (x^2 + 2x \geq 0) выполняется (положительный знак).
• На интервале ([-2, 0]) выражение (x^2 + 2x \geq 0) не выполняется (отрицательный знак).
• На интервале ((0, +\infty)) выражение (x^2 + 2x \geq 0) снова выполняется (положительный знак).

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

[ (-\infty, -2] \quad \text{и} \quad [0, +\infty). ]

Включим корни, так как мы имеем неравенство (\geq).

Ответ:

[ x \in (-\infty, -2] \cup [0, +\infty). ]