Решите неравенство х(х+7)*(3-6х)=>0 Помогите пожалуйста!

Конечно, давайте разберёмся с вашим неравенством! У нас есть:

[ x(x + 7)(3 - 6x) \geq 0 ]

Шаг 1: Найдём нули каждого множителя

Чтобы решить неравенство, для начала найдём точки, где выражение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. ( x = 0 ) (первый множитель).
2. ( x + 7 = 0 ), откуда ( x = -7 ) (второй множитель).
3. ( 3 - 6x = 0 ), откуда ( x = \frac{1}{2} ) (третий множитель).

Таким образом, нули выражения: ( x = -7, x = 0, x = \frac{1}{2} ).

Шаг 2: Разделение числовой прямой

Теперь разделим числовую прямую на интервалы, используя точки ( x = -7 ), ( x = 0 ), ( x = \frac{1}{2} ). Эти точки делят прямую на следующие интервалы:

[ (-\infty, -7), \quad (-7, 0), \quad (0, \frac{1}{2}), \quad (\frac{1}{2}, +\infty) ]

На каждом из этих интервалов знак произведения ( x(x + 7)(3 - 6x) ) будет постоянным, и мы определим его, подставляя значения из каждого интервала.

Шаг 3: Исследуем знаки на интервалах

Для каждого интервала подставим тестовую точку (любое число из интервала) в выражение ( x(x + 7)(3 - 6x) ), чтобы определить знак.

1. Интервал ( (-\infty, -7) ): Возьмём тестовую точку ( x = -8 ). [ x(x + 7)(3 - 6x) = (-8)((-8) + 7)(3 - 6(-8)) = (-8)(-1)(3 + 48) = (-8)(-1)(51) = 408 ] Знак: положительный (+).

2. Интервал ( (-7, 0) ): Возьмём тестовую точку ( x = -1 ). [ x(x + 7)(3 - 6x) = (-1)((-1) + 7)(3 - 6(-1)) = (-1)(6)(3 + 6) = (-1)(6)(9) = -54 ] Знак: отрицательный (-).

3. Интервал ( (0, \frac{1}{2}) ): Возьмём тестовую точку ( x = 0.1 ). [ x(x + 7)(3 - 6x) = (0.1)((0.1) + 7)(3 - 6(0.1)) = (0.1)(7.1)(3 - 0.6) = (0.1)(7.1)(2.4) \approx 1.704 ] Знак: положительный (+).

4. Интервал ( (\frac{1}{2}, +\infty) ): Возьмём тестовую точку ( x = 1 ). [ x(x + 7)(3 - 6x) = (1)((1) + 7)(3 - 6(1)) = (1)(8)(3 - 6) = (1)(8)(-3) = -24 ] Знак: отрицательный (-).

Шаг 4: Итоговая таблица знаков

Теперь запишем знак выражения на каждом интервале:

[ \begin{aligned} &(-\infty, -7) \quad & + \ &(-7, 0) \quad & - \ &(0, \frac{1}{2}) \quad & + \ &(\frac{1}{2}, +\infty) \quad & - \end{aligned} ]

Шаг 5: Учитываем знак неравенства

Нам нужно решить неравенство:

[ x(x + 7)(3 - 6x) \geq 0 ]

Это означает, что выражение должно быть положительным или равным нулю. Соответственно, нас интересуют интервалы, где знак ( + ), а также точки, где выражение равно нулю (( x = -7, x = 0, x = \frac{1}{2} )).

Из нашей таблицы знаков видно, что выражение ( \geq 0 ) на интервалах:

1. ( (-\infty, -7] ),
2. ( [0, \frac{1}{2}] ).

Шаг 6: Ответ

Ответ для неравенства:

[ x \in (-\infty, -7] \cup [0, \frac{1}{2}] ]

Для решения неравенства ( x(x + 7)(3 - 6x) \geq 0 ) начнем с нахождения корней левой части неравенства. Корни находятся путем приравнивания каждого множителя к нулю:

1. Первый множитель: ( x = 0 )
2. Второй множитель: ( x + 7 = 0 ) (\Rightarrow x = -7)
3. Третий множитель: ( 3 - 6x = 0 ) (\Rightarrow 6x = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{2})

Таким образом, корни неравенства: ( x = -7, \, x = 0, \, x = \frac{1}{2} ).

Теперь обозначим эти корни на числовой прямой и определим интервалы, которые они образуют:

• ( (-\infty, -7) )
• ( (-7, 0) )
• ( (0, \frac{1}{2}) )
• ( (\frac{1}{2}, +\infty) )

Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение ( x(x + 7)(3 - 6x) ) для определения знака на этих интервалах.

1. Интервал ( (-\infty, -7) ): Выберем тестовую точку ( x = -8 ): [ (-8)(-8 + 7)(3 - 6 \cdot -8) = (-8)(-1)(3 + 48) = (-8)(-1)(51) > 0 ]

2. Интервал ( (-7, 0) ): Выберем тестовую точку ( x = -1 ): [ (-1)(-1 + 7)(3 - 6 \cdot -1) = (-1)(6)(3 + 6) = (-1)(6)(9) < 0 ]

3. Интервал ( (0, \frac{1}{2}) ): Выберем тестовую точку ( x = \frac{1}{4} ): [ \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{4} + 7\right)\left(3 - 6 \cdot \frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{29}{4}\right)\left(3 - \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{29}{4}\right)\left(\frac{3}{2}\right) > 0 ]

4. Интервал ( (\frac{1}{2}, +\infty) ): Выберем тестовую точку ( x = 1 ): [ (1)(1 + 7)(3 - 6 \cdot 1) = (1)(8)(3 - 6) = (1)(8)(-3) < 0 ]

Теперь мы знаем знаки на каждом интервале:

• ( (-\infty, -7) ): ( > 0 )
• ( (-7, 0) ): ( < 0 )
• ( (0, \frac{1}{2}) ): ( > 0 )
• ( (\frac{1}{2}, +\infty) ): ( < 0 )

Теперь мы можем составить итоговый ответ. Нам нужны те интервалы, где произведение не отрицательно (больше или равно нулю). Это происходит на интервалах:

1. ( (-\infty, -7) ) (здесь ( > 0 ))
2. ( [0, \frac{1}{2}] ) (включая ( 0 ) и ( \frac{1}{2} ), так как на этих точках выражение равно нулю)

Таким образом, итоговое решение неравенства: [ x \in (-\infty, -7) \cup [0, \frac{1}{2}] ]