Решите неравенство log4(x-2) + log4(x-8) < 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов. Сначала объединим логарифмы с одинаковым основанием 4 в один, применяя свойство логарифмов log(a) + log(b) = log(ab). Таким образом, получаем:

log4((x-2)(x-8)) < 2

Далее преобразуем левую часть неравенства в экспоненциальную форму:

4^2 < (x-2)(x-8)

16 < (x-2)(x-8)

Раскроем скобки:

16 < x^2 - 8x - 2x + 16

16 < x^2 - 10x + 16

После того, как мы привели неравенство к квадратному уравнению, вычитаем 16 из обеих сторон:

0 < x^2 - 10x

Получаем квадратное уравнение без свободного члена. Теперь найдем корни уравнения:

x^2 - 10x = 0

x(x - 10) = 0

x = 0 или x = 10

Таким образом, две точки - x = 0 и x = 10 - делят плоскость на три части. После проверки каждой части на соответствие исходному неравенству, получаем, что решением данного неравенства является интервал (0, 10).

Чтобы решить неравенство ( \log_4(x-2) + \log_4(x-8) < 2 ), выполните следующие шаги:

1. Объединение логарифмов: Используя свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения, преобразуем левую часть неравенства: [ \log_4((x-2)(x-8)) < 2. ]

2. Устранение логарифма: Поскольку логарифм имеет основание 4, преобразуем неравенство: [ (x-2)(x-8) < 4^2. ] Это упрощается до: [ (x-2)(x-8) < 16. ]

3. Решение квадратного неравенства: Раскроем скобки и перенесём все члены на одну сторону: [ x^2 - 10x + 16 < 16. ] Упрощаем: [ x^2 - 10x < 0. ] Это можно разложить на множители: [ x(x - 10) < 0. ]

4. Нахождение интервалов: Найдём нули уравнения (x(x - 10) = 0), то есть (x = 0) и (x = 10). Эти точки разбивают числовую ось на интервалы: ((-\infty, 0)), ((0, 10)), и ((10, \infty)).

5. Проверка знаков на интервалах: Проверим знак выражения (x(x - 10)) на каждом из интервалов:

   • На интервале ((-\infty, 0)): выбираем значение (x = -1), тогда ((-1)(-1 - 10) = 11 > 0).
   • На интервале ((0, 10)): выбираем значение (x = 5), тогда (5(5 - 10) = -25 < 0).
   • На интервале ((10, \infty)): выбираем значение (x = 11), тогда (11(11 - 10) = 11 > 0).

   Таким образом, выражение отрицательно на интервале ((0, 10)).

6. Учитывая область определения логарифма: Учитывая, что (\log_4(x-2)) и (\log_4(x-8)) определены только при (x > 8), пересекаем это с найденным интервалом:

   • Начальное условие: (x-2 > 0) и (x-8 > 0), что даёт (x > 8).

   Следовательно, пересечение интервалов ((0, 10)) и ( (8, \infty) ) даёт (x \in (8, 10)).

Итак, решение неравенства: (x \in (8, 10)).