Решите неравенство методом интервалов х-3/х+6

1. Найдем корни уравнения x - 3 = 0 и x + 6 = 0: x = 3 и x = -6
2. Построим интервалы на числовой прямой: (-бесконечность, -6), (-6, 3), (3, +бесконечность)
3. Проверим знаки внутри каждого интервала: -6 < x < 3 - неравенство выполняется Ответ: x принадлежит интервалу (-6, 3)

Для решения неравенства (\frac{x-3}{x+6} > 0) методом интервалов, следуем следующему алгоритму:

1. Найдите нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: (x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3).
   • Знаменатель: (x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6).

2. Определите критические точки:

   • (x = 3) — нуль числителя.
   • (x = -6) — нуль знаменателя (в этой точке функция не определена).

3. Разделите числовую ось на интервалы:

   • На основании критических точек (-6) и (3), числовая ось делится на интервалы: ((-\infty, -6)), ((-6, 3)), и ((3, \infty)).

4. Определите знак выражения на каждом из интервалов:

   • Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение (\frac{x-3}{x+6}):
     • Для интервала ((-\infty, -6)), возьмем (x = -7): [ \frac{-7-3}{-7+6} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0 ]
     • Для интервала ((-6, 3)), возьмем (x = 0): [ \frac{0-3}{0+6} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} < 0 ]
     • Для интервала ((3, \infty)), возьмем (x = 4): [ \frac{4-3}{4+6} = \frac{1}{10} > 0 ]

5. Запишите решение, учитывая неравенство:

   • Поскольку (\frac{x-3}{x+6} > 0), нас интересуют интервалы, где выражение положительно.
   • Это интервалы ((-\infty, -6)) и ((3, \infty)).

6. Итоговое решение: [ x \in (-\infty, -6) \cup (3, \infty) ]

Таким образом, решение неравенства (\frac{x-3}{x+6} > 0) методом интервалов заключается в том, что переменная (x) принадлежит объединению интервалов ((- \infty, -6)) и ((3, \infty)).

Для решения данного неравенства методом интервалов необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем точки разрыва функции, приравняв знаменатель к нулю: x + 6 = 0 x = -6

2. Построим интервалы на числовой прямой, учитывая найденную точку разрыва: Если x < -6, то функция x - 3 / x + 6 < 0 Если x > -6, то функция x - 3 / x + 6 > 0

3. Проверим знак функции в каждом интервале, выбрав для этого произвольные значения слева и справа от точки разрыва (-6): Для x = -7: (-7 - 3) / (-7 + 6) = -10 / -1 = 10 > 0 Для x = -5: (-5 - 3) / (-5 + 6) = -8 / 1 = -8 < 0

Таким образом, решением неравенства x - 3 / x + 6 является интервал (-∞, -6).