Решите неравенство(х-2)(х-5)(х-12)>0

Для решения данного неравенства необходимо найти интервалы, на которых выражение (x-2)(x-5)(x-12) больше нуля.

1. Найдем корни уравнения (x-2)(x-5)(x-12) = 0. x-2=0 => x=2 x-5=0 => x=5 x-12=0 => x=12

Таким образом, у нас есть 3 корня: x=2, x=5, x=12.

1. Построим числовую прямую и отметим на ней найденные корни. ---2---5---12---

2. Разобьем числовую прямую на интервалы с учетом найденных корней: I. x < 2 II. 2 < x < 5 III. 5 < x < 12 IV. x > 12

3. Теперь выберем точку из каждого интервала и проверим знак выражения (x-2)(x-5)(x-12) в этой точке. I. Для x=0: (-2)(-5)(-12) < 0 - результат отрицательный II. Для x=3: (1)(-2)(-9) > 0 - результат положительный III. Для x=8: (6)(3)(-4) < 0 - результат отрицательный IV. Для x=15: (13)(10)(3) > 0 - результат положительный

4. Таким образом, неравенство (x-2)(x-5)(x-12) > 0 выполняется на интервалах II и IV: Ответ: 2 < x < 5 и x > 12.

Для решения неравенства ((x-2)(x-5)(x-12) > 0) необходимо определить промежутки, на которых произведение трёх множителей положительно. Сделаем это, следуя шагам:

1. Найдём нули каждого множителя:

   • (x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2)
   • (x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5)
   • (x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12)

   Эти значения являются точками, в которых произведение меняет знак.

2. Определим промежутки: Разделим числовую прямую на промежутки, используя найденные нули:

   • ((-\infty, 2))
   • ((2, 5))
   • ((5, 12))
   • ((12, +\infty))

3. Определим знак произведения на каждом из промежутков: Выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в неравенство:

   • Для промежутка ((-\infty, 2)), выберем (x = 0): ((0 - 2)(0 - 5)(0 - 12) = (-2)(-5)(-12) = -120), знак отрицательный.

   • Для промежутка ((2, 5)), выберем (x = 3): ((3 - 2)(3 - 5)(3 - 12) = (1)(-2)(-9) = 18), знак положительный.

   • Для промежутка ((5, 12)), выберем (x = 6): ((6 - 2)(6 - 5)(6 - 12) = (4)(1)(-6) = -24), знак отрицательный.

   • Для промежутка ((12, +\infty)), выберем (x = 13): ((13 - 2)(13 - 5)(13 - 12) = (11)(8)(1) = 88), знак положительный.

4. Запишите решение: Неравенство ((x-2)(x-5)(x-12) > 0) выполняется на промежутках, где произведение положительно:

   • ((2, 5))
   • ((12, +\infty))

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: (x \in (2, 5) \cup (12, +\infty)).