Решите неравенство:lg(2x-3)>lg(x+1) Ответ должен быть : (4;+бесконечность)

Рассмотрим неравенство:

[ \log(2x - 3) > \log(x + 1). ]

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Логарифм определён только для положительных аргументов. Поэтому:

[ 2x - 3 > 0 \quad \text{и} \quad x + 1 > 0. ]

Решим каждое из этих неравенств:

1. ( 2x - 3 > 0 ) (\implies) ( x > \frac{3}{2} );
2. ( x + 1 > 0 ) (\implies) ( x > -1 ).

Совмещаем оба условия: ( x > \frac{3}{2} ). Это и есть ОДЗ.

2. Свойство логарифма

Логарифмическая функция ( \log(a) ) строго возрастает при любом основании ( a > 1 ). Это означает, что если ( \log(f(x)) > \log(g(x)) ), то ( f(x) > g(x) ), при условии, что ( f(x) > 0 ) и ( g(x) > 0 ) (что уже обеспечено ОДЗ).

Поэтому данное неравенство эквивалентно:

[ 2x - 3 > x + 1. ]

3. Решение линейного неравенства

Решим неравенство:

[ 2x - 3 > x + 1. ]

Переносим ( x ) и числа в одну сторону:

[ 2x - x > 1 + 3 \quad \implies \quad x > 4. ]

4. Учитываем ОДЗ

Решение ( x > 4 ) автоматически удовлетворяет ОДЗ (( x > \frac{3}{2} )). Поэтому окончательное решение:

[ x \in (4; +\infty). ]

Ответ:

[ (4; +\infty). ]

Чтобы решить неравенство ( \lg(2x-3) > \lg(x+1) ), сначала воспользуемся свойством логарифмов: неравенство сохраняется при возведении в степень 10, если аргументы положительны.

1. Запишем неравенство без логарифмов: ( 2x - 3 > x + 1 ).

2. Упростим его: ( 2x - x > 1 + 3 )
   ( x > 4 ).

Теперь проверим условия существования логарифмов:

• ( 2x - 3 > 0 ) даёт ( x > 1.5 ).
• ( x + 1 > 0 ) всегда верно для ( x > -1 ).

Наименьшее из этих условий — ( x > 1.5 ).

Таким образом, совокупность условий:

• ( x > 4 ) (решение неравенства)
• ( x > 1.5 ) (условие существования)

Окончательный ответ: ( x \in (4; +\infty) ).

Для решения неравенства ( \lg(2x - 3) > \lg(x + 1) ) начнем с того, что логарифмы определены только для положительных аргументов. Поэтому необходимо установить условия, при которых выражения под логарифмами положительны:

1. ( 2x - 3 > 0 ) ⇒ ( 2x > 3 ) ⇒ ( x > \frac{3}{2} ).
2. ( x + 1 > 0 ) ⇒ ( x > -1 ).

С учетом этих ограничений, наибольшее значение - это ( x > \frac{3}{2} ).

Теперь, поскольку логарифм – это возрастая функция, мы можем убрать логарифмы, сохраняя неравенство:

[ 2x - 3 > x + 1. ]

Теперь решим это неравенство:

[ 2x - 3 > x + 1 \ 2x - x > 1 + 3 \ x > 4. ]

Таким образом, одно из условий, определяющих область допустимых значений, — это ( x > 4 ).

Так как мы ранее установили, что ( x > \frac{3}{2} ), это условие не накладывает дополнительных ограничений, и окончательное решение неравенства будет:

[ x \in (4; +\infty). ]

Таким образом, решение неравенства ( \lg(2x - 3) > \lg(x + 1) ) — это интервал ( (4; +\infty) ).