Решите рациональные уравнения: 1) 2/ х-1 +х/х-2 =1. 2) х^2-9 _________ = 0. х^3+2х^2+9

Давайте решим каждое из этих уравнений по отдельности.

Уравнение 1:

[ \frac{2}{x-1} + \frac{x}{x-2} = 1. ]

Для решения этого уравнения, найдем общий знаменатель и приведем обе дроби к нему. Общий знаменатель для ((x-1)) и ((x-2)) будет ((x-1)(x-2)).

Перепишем уравнение с общим знаменателем:

[ \frac{2(x-2) + x(x-1)}{(x-1)(x-2)} = 1. ]

Упростим числитель:

[ 2(x-2) + x(x-1) = 2x - 4 + x^2 - x = x^2 + x - 4. ]

Теперь уравнение выглядит так:

[ \frac{x^2 + x - 4}{(x-1)(x-2)} = 1. ]

Умножим обе части уравнения на ((x-1)(x-2)), чтобы избавиться от знаменателя:

[ x^2 + x - 4 = (x-1)(x-2). ]

Раскроем скобки в правой части:

[ x^2 + x - 4 = x^2 - 3x + 2. ]

Упростим уравнение:

[ x^2 + x - 4 - x^2 + 3x - 2 = 0. ]

[ 4x - 6 = 0. ]

Решим это уравнение:

[ 4x = 6, ]

[ x = \frac{3}{2}. ]

Проверим, не приводит ли это значение к делению на ноль в исходном уравнении. При (x = \frac{3}{2}) ни один из знаменателей не равен нулю, значит, это решение подходит.

Уравнение 2:

[ \frac{x^2 - 9}{x^3 + 2x^2 + 9} = 0. ]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Решим уравнение (x^2 - 9 = 0):

[ x^2 - 9 = 0. ]

[ x^2 = 9. ]

[ x = \pm 3. ]

Теперь проверим, не делает ли любой из этих корней знаменатель равным нулю:

1. Для (x = 3):

[ x^3 + 2x^2 + 9 = 3^3 + 2 \cdot 3^2 + 9 = 27 + 18 + 9 = 54. ]

Знаменатель не равен нулю, значит, (x = 3) является решением.

1. Для (x = -3):

[ x^3 + 2x^2 + 9 = (-3)^3 + 2 \cdot (-3)^2 + 9 = -27 + 18 + 9 = 0. ]

Знаменатель равен нулю, значит, (x = -3) не является решением.

Итак, единственным решением второго уравнения является (x = 3).

Таким образом, решения уравнений:

1. (x = \frac{3}{2}).
2. (x = 3).

1) x = 3

2) x = -3

1) Для решения уравнения 2/(x-1) + x/(x-2) = 1 сначала приведем дроби к общему знаменателю: 2(x-2)/((x-1)(x-2)) + x(x-1)/((x-1)(x-2)) = 1 (2x-4 + x^2-x)/((x-1)(x-2)) = 1 (x^2+x-4)/((x-1)(x-2)) = 1 x^2+x-4 = (x-1)(x-2) x^2+x-4 = x^2 -3x + 2 4 = 3x+2 x = 2/3

Таким образом, решением уравнения является x = 2/3.

2) Для решения уравнения (x^2-9)/(x^3+2x^2+9) = 0 сначала факторизуем числитель и знаменатель: (x+3)(x-3)/(x^2(x+2)+9) = 0 (x+3)(x-3)/((x^2+9)(x+2)) = 0

Уравнение будет равно нулю только если числитель равен нулю: x+3=0 или x-3=0 x=-3 x=3

Таким образом, решениями уравнения являются x = -3 и x = 3.