Решите систему log_3( x+y)=2 9^log_3\/x-y=5

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться свойствами логарифмов и степеней. Давайте преобразим уравнения:

1) log_3( x+y) = 2 Перепишем это уравнение в эквивалентной форме: 3^2 = x + y 9 = x + y

2) 9^log_3\/x - y = 5 Используем свойство логарифмов: a^log_a⁡(b) = b 9^log_3⁡(x - y) = 5 Теперь перепишем это уравнение в эквивалентной форме: x - y = 3^log_3⁡5 x - y = 3^5 x - y = 243

Итак, у нас получилась система уравнений: 1) 9 = x + y 2) x - y = 243

Теперь можно решить эту систему методом подстановки или сложением/вычитанием уравнений. Решив систему, получим значения переменных x и y.

Давайте решим систему уравнений:

1. ( \log_3(x + y) = 2 )
2. ( 9^{\log_3 x} - y = 5 )

Начнем с первого уравнения:

[ \log_3(x + y) = 2 ]

Это уравнение можно переписать в экспоненциальной форме:

[ x + y = 3^2 ]

[ x + y = 9 ]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

[ 9^{\log_3 x} - y = 5 ]

Можем переписать его следующим образом:

[ 9^{\log_3 x} = (3^2)^{\log_3 x} = 3^{2\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^2 = x^2 ]

Таким образом, уравнение становится:

[ x^2 - y = 5 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( x + y = 9 )
2. ( x^2 - y = 5 )

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим ( y ):

[ y = 9 - x ]

Подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:

[ x^2 - (9 - x) = 5 ]

[ x^2 - 9 + x = 5 ]

[ x^2 + x - 9 = 5 ]

[ x^2 + x - 14 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение:

[ x^2 + x - 14 = 0 ]

Для этого найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 1 + 56 = 57 ]

Корни уравнения находятся по формуле:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{2} ]

Таким образом, у нас есть два значения для ( x ):

[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{2} ]

[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{57}}{2} ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ):

1. Для ( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{2} ):

[ y_1 = 9 - x_1 = 9 - \frac{-1 + \sqrt{57}}{2} = \frac{18 + 1 - \sqrt{57}}{2} = \frac{19 - \sqrt{57}}{2} ]

1. Для ( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{57}}{2} ):

[ y_2 = 9 - x_2 = 9 - \frac{-1 - \sqrt{57}}{2} = \frac{18 + 1 + \sqrt{57}}{2} = \frac{19 + \sqrt{57}}{2} ]

Таким образом, решения системы уравнений:

1. ( x = \frac{-1 + \sqrt{57}}{2}, \, y = \frac{19 - \sqrt{57}}{2} )
2. ( x = \frac{-1 - \sqrt{57}}{2}, \, y = \frac{19 + \sqrt{57}}{2} )

x = 9, y = 1.