Решите систему неравенств {5х^2+12х-9<0} {3х-1<0}
Решите систему неравенств {5х^2+12х-9<0} {3х-1<0}
Для решения данной системы неравенств сначала найдем корни уравнения 5х^2 + 12x - 9 = 0. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 5, b = 12, c = -9.
D = 12^2 - 45(-9) = 144 + 180 = 324.
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.
x1 = (-12 + √324) / 10 = (-12 + 18) / 10 = 6 / 10 = 0.6. x2 = (-12 - √324) / 10 = (-12 - 18) / 10 = -30 / 10 = -3.
Теперь найдем интервалы, где выполняется неравенство 5х^2 + 12x - 9 < 0. Для этого используем метод знаков:
1) Подставим в уравнение тестовую точку x = -4: 5(-4)^2 + 12(-4) - 9 = 516 - 48 - 9 = 80 - 48 - 9 = 23 > 0. 2) Подставим в уравнение тестовую точку x = 1: 51^2 + 121 - 9 = 51 + 12 - 9 = 5 + 3 - 9 = -1 < 0. 3) Подставим в уравнение тестовую точку x = 2: 52^2 + 122 - 9 = 5*4 + 24 - 9 = 20 + 24 - 9 = 35 > 0.
Таким образом, неравенство 5х^2 + 12x - 9 < 0 выполняется на интервале (-3, 0.6).
Теперь рассмотрим неравенство 3х - 1 < 0. Найдем корень уравнения 3х - 1 = 0: x = 1/3.
Таким образом, неравенство 3х - 1 < 0 выполняется на интервале (-∞, 1/3).
Итак, система неравенств {5х^2 + 12x - 9 < 0} и {3х - 1 < 0} будет выполняться на пересечении интервалов (-3, 0.6) и (-∞, 1/3), то есть на интервале (-3, 1/3).
Для первого неравенства: 5x^2 + 12x - 9 < 0, факторизуем: (5x - 3)(x + 3) < 0. Получаем два интервала решений: -3 < x < 3/5 и x < -3.
Для второго неравенства: 3x - 1 < 0. Решение: x < 1/3.
Объединяя оба решения, получаем: x < -3 либо -3 < x < 1/3.
Решим данную систему неравенств поэтапно.
Это квадратное неравенство, и чтобы его решить, найдем сначала корни соответствующего квадратного уравнения (5x^2 + 12x - 9 = 0). Для этого используем дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 144 + 180 = 324 ]
Корни уравнения находятся по формуле:
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{324}}{10} ]
(\sqrt{324} = 18), следовательно, корни:
[ x_1 = \frac{-12 + 18}{10} = \frac{6}{10} = 0.6 ]
[ x_2 = \frac{-12 - 18}{10} = \frac{-30}{10} = -3 ]
Теперь определим знаки выражения (5x^2 + 12x - 9) на интервалах, разделенных корнями. Это квадратичная функция, которая принимает отрицательные значения между своими корнями, так как коэффициент при (x^2) положительный (ветви параболы направлены вверх).
Таким образом, (5x^2 + 12x - 9 < 0) на интервале ((-3, 0.6)).
Решаем линейное неравенство:
[ 3x < 1 ]
[ x < \frac{1}{3} ]
Теперь объединим решения двух неравенств. Первое неравенство определяет интервал, на котором выражение отрицательно: (x \in (-3, 0.6)). Второе неравенство ограничивает область (x) значениями меньшими (\frac{1}{3}).
Пересечение интервалов ((-3, 0.6)) и ((-\infty, \frac{1}{3})) даёт:
[ x \in (-3, \frac{1}{3}) ]
Таким образом, решение системы неравенств:
[ x \in (-3, \frac{1}{3}) ]
