Решите систему уравнений 2y-x=7 x^2-xy-y^2=20
Решите систему уравнений 2y-x=7 x^2-xy-y^2=20
x = -1, y = 3
Для решения данной системы уравнений начнем с первого уравнения и выразим одну переменную через другую:
[ 2y - x = 7 ]
Из этого уравнения можно выразить ( x ) через ( y ):
[ x = 2y - 7 ]
Теперь подставим это выражение для ( x ) во второе уравнение:
[ x^2 - xy - y^2 = 20 ]
Заменим ( x ) на ( 2y - 7 ):
[ (2y - 7)^2 - (2y - 7)y - y^2 = 20 ]
Раскроем скобки и упростим выражение:
[ (2y - 7)^2 = 4y^2 - 28y + 49 ]
[ (2y - 7)y = 2y^2 - 7y ]
Теперь подставим эти выражения обратно во второе уравнение:
[ 4y^2 - 28y + 49 - (2y^2 - 7y) - y^2 = 20 ]
Объединим подобные члены:
[ 4y^2 - 2y^2 - y^2 - 28y + 7y + 49 = 20 ]
[ y^2 - 21y + 49 = 20 ]
Теперь перенесем 20 на левую сторону:
[ y^2 - 21y + 29 = 0 ]
Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
Где ( a = 1 ), ( b = -21 ), ( c = 29 ):
[ y = \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1} ]
[ y = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 116}}{2} ]
[ y = \frac{21 \pm \sqrt{325}}{2} ]
[ y = \frac{21 \pm \sqrt{25 \cdot 13}}{2} ]
[ y = \frac{21 \pm 5\sqrt{13}}{2} ]
Таким образом, у нас два значения для ( y ):
[ y_1 = \frac{21 + 5\sqrt{13}}{2} ]
[ y_2 = \frac{21 - 5\sqrt{13}}{2} ]
Теперь найдем соответствующие значения для ( x ), используя выражение ( x = 2y - 7 ):
Для ( y_1 = \frac{21 + 5\sqrt{13}}{2} ):
[ x_1 = 2 \left(\frac{21 + 5\sqrt{13}}{2}\right) - 7 = 21 + 5\sqrt{13} - 7 = 14 + 5\sqrt{13} ]
Для ( y_2 = \frac{21 - 5\sqrt{13}}{2} ):
[ x_2 = 2 \left(\frac{21 - 5\sqrt{13}}{2}\right) - 7 = 21 - 5\sqrt{13} - 7 = 14 - 5\sqrt{13} ]
Таким образом, система уравнений имеет два решения:
Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом подстановки.
Из первого уравнения выразим x через y: x = 2y - 7
Подставим это выражение во второе уравнение: (2y - 7)^2 - y(2y - 7) - y^2 = 20 Упростим: 4y^2 - 28y + 49 - 2y^2 + 7y - y^2 = 20 y^2 - 12y + 29 = 20 y^2 - 12y + 9 = 0
Теперь решим квадратное уравнение относительно y: D = (-12)^2 - 419 = 144 - 36 = 108 y1,2 = (12 ± √108) / 2 = (12 ± 6√3) / 2 = 6 ± 3√3
Таким образом, получаем два значения для y: y1 = 6 + 3√3 и y2 = 6 - 3√3
Теперь найдем соответствующие значения для x, подставив найденные y в выражение x = 2y - 7: x1 = 2(6 + 3√3) - 7 = 12 + 6√3 - 7 = 5 + 6√3 x2 = 2(6 - 3√3) - 7 = 12 - 6√3 - 7 = 5 - 6√3
Итак, решением системы уравнений 2y - x = 7 и x^2 - xy - y^2 = 20 являются две пары чисел (x1, y1) = (5 + 6√3, 6 + 3√3) и (x2, y2) = (5 - 6√3, 6 - 3√3).
