Решите систему уравнений графическим методом: 3у-2х=0 у=-3х+11
Решите систему уравнений графическим методом: 3у-2х=0 у=-3х+11
Рассмотрим систему уравнений:
Чтобы упростить графическое решение, выразим ( y ) из первого уравнения.
[ 3y - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3y = 2x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{3}x ]
Теперь наша система выглядит так:
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом ( \frac{2}{3} ) и свободным членом 0. Прямая проходит через начало координат (0, 0) и имеет наклон ( \frac{2}{3} ) (то есть, при увеличении ( x ) на 3, ( y ) увеличивается на 2).
Для построения выберем несколько точек:
Соединяем эти точки и получаем прямую.
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом ( -3 ) и свободным членом 11. Прямая пересекает ось ( y ) в точке (0, 11) и имеет наклон (-3) (то есть, при увеличении ( x ) на 1, ( y ) уменьшается на 3).
Для построения выберем несколько точек:
Соединяем эти точки и получаем прямую.
Точка пересечения двух прямых — это решение системы уравнений. Чтобы найти её графически, достаточно начертить обе прямые на одной координатной плоскости и определить координаты их пересечения.
Чтобы найти точку пересечения точно, приравняем правые части уравнений: [ \frac{2}{3}x = -3x + 11 ]
Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дроби: [ 2x = -9x + 33 ]
Соберём все ( x ) в одну часть: [ 2x + 9x = 33 \quad \Rightarrow \quad 11x = 33 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ]
Теперь найдём ( y ), подставив ( x = 3 ) в любое из уравнений. Возьмём, например, ( y = \frac{2}{3}x ): [ y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 ]
Итак, точка пересечения (и решение системы) — ( (3, 2) ).
Решением системы уравнений является точка ( (3, 2) ).
Чтобы решить систему уравнений графическим методом, сначала нужно преобразовать оба уравнения в вид, удобный для построения графиков. У нас есть следующие уравнения:
Первое уравнение можно выразить через ( y ):
[ 3y = 2x \implies y = \frac{2}{3}x ]
Теперь у нас есть два уравнения:
Теперь мы можем построить графики этих двух уравнений.
Для построения этого графика найдем несколько точек:
Когда ( x = 0 ): [ y = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0 \quad \text{(точка (0, 0))} ]
Когда ( x = 3 ): [ y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \quad \text{(точка (3, 2))} ]
Когда ( x = 6 ): [ y = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \quad \text{(точка (6, 4))} ]
Теперь мы можем провести линию через точки (0, 0), (3, 2) и (6, 4).
Для построения этого графика также найдем несколько точек:
Когда ( x = 0 ): [ y = -3 \cdot 0 + 11 = 11 \quad \text{(точка (0, 11))} ]
Когда ( x = 1 ): [ y = -3 \cdot 1 + 11 = 8 \quad \text{(точка (1, 8))} ]
Когда ( x = 3 ): [ y = -3 \cdot 3 + 11 = 2 \quad \text{(точка (3, 2))} ]
Теперь мы можем провести линию через точки (0, 11), (1, 8) и (3, 2).
Теперь, когда оба графика построены, мы ищем точку их пересечения. Из построенных графиков видно, что они пересекаются в точке (3, 2).
Чтобы убедиться, что (3, 2) является решением системы, подставим его в оба уравнения.
Для первого уравнения: [ 3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0 \quad \text{(истинно)} ]
Для второго уравнения: [ 2 = -3(3) + 11 = -9 + 11 = 2 \quad \text{(истинно)} ]
Обе проверки подтвердили, что точка (3, 2) удовлетворяет обоим уравнениям.
Решением системы уравнений является точка ( (3, 2) ).
Для решения системы уравнений графическим методом нужно построить графики обоих уравнений и найти их точку пересечения.
Уравнение (3y - 2x = 0) можно привести к виду (y = \frac{2}{3}x). Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом (\frac{2}{3}).
Уравнение (y = -3x + 11) — это прямая с угловым коэффициентом (-3) и пересечением с осью Y в точке (11).
Теперь строим графики:
Точка пересечения этих двух графиков — это решение системы.
Решив систему алгебраически, мы получаем:
Подставляем (y) из второго уравнения в первое: [ 3(-3x + 11) - 2x = 0 ] [ -9x + 33 - 2x = 0 \implies -11x + 33 = 0 \implies x = 3. ]
Подставляем (x = 3) во второе уравнение: [ y = -3(3) + 11 = -9 + 11 = 2. ]
Таким образом, точка пересечения: ((3, 2)). Это и есть решение системы уравнений.
