Решите систему уравнений графическим методом: 3у-2х=0 у=-3х+11

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
графический метод система уравнений решение уравнений линейные уравнения пересечение графиков математика алгебра
0

Решите систему уравнений графическим методом: 3у-2х=0 у=-3х+11

avatar
задан 11 дней назад

3 Ответа

0

Рассмотрим систему уравнений:

  1. ( 3y - 2x = 0 )
  2. ( y = -3x + 11 )

Шаг 1: Перепишем первое уравнение в виде ( y = f(x) )

Чтобы упростить графическое решение, выразим ( y ) из первого уравнения.

[ 3y - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3y = 2x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{3}x ]

Теперь наша система выглядит так:

  1. ( y = \frac{2}{3}x )
  2. ( y = -3x + 11 )

Шаг 2: Построим графики

График первого уравнения (( y = \frac{2}{3}x )):

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом ( \frac{2}{3} ) и свободным членом 0. Прямая проходит через начало координат (0, 0) и имеет наклон ( \frac{2}{3} ) (то есть, при увеличении ( x ) на 3, ( y ) увеличивается на 2).

Для построения выберем несколько точек:

  • При ( x = 0 ), ( y = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0 ) (точка (0, 0)).
  • При ( x = 3 ), ( y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 ) (точка (3, 2)).
  • При ( x = -3 ), ( y = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2 ) (точка (-3, -2)).

Соединяем эти точки и получаем прямую.

График второго уравнения (( y = -3x + 11 )):

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом ( -3 ) и свободным членом 11. Прямая пересекает ось ( y ) в точке (0, 11) и имеет наклон (-3) (то есть, при увеличении ( x ) на 1, ( y ) уменьшается на 3).

Для построения выберем несколько точек:

  • При ( x = 0 ), ( y = -3 \cdot 0 + 11 = 11 ) (точка (0, 11)).
  • При ( x = 1 ), ( y = -3 \cdot 1 + 11 = 8 ) (точка (1, 8)).
  • При ( x = -1 ), ( y = -3 \cdot (-1) + 11 = 14 ) (точка (-1, 14)).

Соединяем эти точки и получаем прямую.

Шаг 3: Найдем точку пересечения

Точка пересечения двух прямых — это решение системы уравнений. Чтобы найти её графически, достаточно начертить обе прямые на одной координатной плоскости и определить координаты их пересечения.

Алгебраическое уточнение:

Чтобы найти точку пересечения точно, приравняем правые части уравнений: [ \frac{2}{3}x = -3x + 11 ]

Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дроби: [ 2x = -9x + 33 ]

Соберём все ( x ) в одну часть: [ 2x + 9x = 33 \quad \Rightarrow \quad 11x = 33 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ]

Теперь найдём ( y ), подставив ( x = 3 ) в любое из уравнений. Возьмём, например, ( y = \frac{2}{3}x ): [ y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 ]

Итак, точка пересечения (и решение системы) — ( (3, 2) ).

Ответ:

Решением системы уравнений является точка ( (3, 2) ).

avatar
ответил 11 дней назад
0

Чтобы решить систему уравнений графическим методом, сначала нужно преобразовать оба уравнения в вид, удобный для построения графиков. У нас есть следующие уравнения:

  1. ( 3y - 2x = 0 )
  2. ( y = -3x + 11 )

Шаг 1: Преобразование первого уравнения

Первое уравнение можно выразить через ( y ):

[ 3y = 2x \implies y = \frac{2}{3}x ]

Теперь у нас есть два уравнения:

  1. ( y = \frac{2}{3}x )
  2. ( y = -3x + 11 )

Шаг 2: Построение графиков

Теперь мы можем построить графики этих двух уравнений.

График первого уравнения ( y = \frac{2}{3}x )

Для построения этого графика найдем несколько точек:

  • Когда ( x = 0 ): [ y = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0 \quad \text{(точка (0, 0))} ]

  • Когда ( x = 3 ): [ y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \quad \text{(точка (3, 2))} ]

  • Когда ( x = 6 ): [ y = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \quad \text{(точка (6, 4))} ]

Теперь мы можем провести линию через точки (0, 0), (3, 2) и (6, 4).

График второго уравнения ( y = -3x + 11 )

Для построения этого графика также найдем несколько точек:

  • Когда ( x = 0 ): [ y = -3 \cdot 0 + 11 = 11 \quad \text{(точка (0, 11))} ]

  • Когда ( x = 1 ): [ y = -3 \cdot 1 + 11 = 8 \quad \text{(точка (1, 8))} ]

  • Когда ( x = 3 ): [ y = -3 \cdot 3 + 11 = 2 \quad \text{(точка (3, 2))} ]

Теперь мы можем провести линию через точки (0, 11), (1, 8) и (3, 2).

Шаг 3: Поиск точки пересечения

Теперь, когда оба графика построены, мы ищем точку их пересечения. Из построенных графиков видно, что они пересекаются в точке (3, 2).

Шаг 4: Проверка решения

Чтобы убедиться, что (3, 2) является решением системы, подставим его в оба уравнения.

  1. Для первого уравнения: [ 3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0 \quad \text{(истинно)} ]

  2. Для второго уравнения: [ 2 = -3(3) + 11 = -9 + 11 = 2 \quad \text{(истинно)} ]

Обе проверки подтвердили, что точка (3, 2) удовлетворяет обоим уравнениям.

Ответ

Решением системы уравнений является точка ( (3, 2) ).

avatar
ответил 11 дней назад
0

Для решения системы уравнений графическим методом нужно построить графики обоих уравнений и найти их точку пересечения.

  1. Уравнение (3y - 2x = 0) можно привести к виду (y = \frac{2}{3}x). Это прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом (\frac{2}{3}).

  2. Уравнение (y = -3x + 11) — это прямая с угловым коэффициентом (-3) и пересечением с осью Y в точке (11).

Теперь строим графики:

  • Первая прямая ((y = \frac{2}{3}x)) проходит через точки ((0, 0)) и ((3, 2)).
  • Вторая прямая ((y = -3x + 11)) проходит через точки ((0, 11)) и ((\frac{11}{3}, 0)).

Точка пересечения этих двух графиков — это решение системы.

Решив систему алгебраически, мы получаем:

  1. Подставляем (y) из второго уравнения в первое: [ 3(-3x + 11) - 2x = 0 ] [ -9x + 33 - 2x = 0 \implies -11x + 33 = 0 \implies x = 3. ]

  2. Подставляем (x = 3) во второе уравнение: [ y = -3(3) + 11 = -9 + 11 = 2. ]

Таким образом, точка пересечения: ((3, 2)). Это и есть решение системы уравнений.

avatar
ответил 11 дней назад

Ваш ответ