Рассмотрим систему уравнений:
- ( 3y - 2x = 0 )
- ( y = -3x + 11 )
Шаг 1: Перепишем первое уравнение в виде ( y = f(x) )
Чтобы упростить графическое решение, выразим ( y ) из первого уравнения.
[
3y - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3y = 2x \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{3}x
]
Теперь наша система выглядит так:
- ( y = \frac{2}{3}x )
- ( y = -3x + 11 )
Шаг 2: Построим графики
График первого уравнения (( y = \frac{2}{3}x )):
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом ( \frac{2}{3} ) и свободным членом 0. Прямая проходит через начало координат (0, 0) и имеет наклон ( \frac{2}{3} ) (то есть, при увеличении ( x ) на 3, ( y ) увеличивается на 2).
Для построения выберем несколько точек:
- При ( x = 0 ), ( y = \frac{2}{3} \cdot 0 = 0 ) (точка (0, 0)).
- При ( x = 3 ), ( y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 ) (точка (3, 2)).
- При ( x = -3 ), ( y = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2 ) (точка (-3, -2)).
Соединяем эти точки и получаем прямую.
График второго уравнения (( y = -3x + 11 )):
Это уравнение прямой с угловым коэффициентом ( -3 ) и свободным членом 11. Прямая пересекает ось ( y ) в точке (0, 11) и имеет наклон (-3) (то есть, при увеличении ( x ) на 1, ( y ) уменьшается на 3).
Для построения выберем несколько точек:
- При ( x = 0 ), ( y = -3 \cdot 0 + 11 = 11 ) (точка (0, 11)).
- При ( x = 1 ), ( y = -3 \cdot 1 + 11 = 8 ) (точка (1, 8)).
- При ( x = -1 ), ( y = -3 \cdot (-1) + 11 = 14 ) (точка (-1, 14)).
Соединяем эти точки и получаем прямую.
Шаг 3: Найдем точку пересечения
Точка пересечения двух прямых — это решение системы уравнений. Чтобы найти её графически, достаточно начертить обе прямые на одной координатной плоскости и определить координаты их пересечения.
Алгебраическое уточнение:
Чтобы найти точку пересечения точно, приравняем правые части уравнений:
[
\frac{2}{3}x = -3x + 11
]
Умножим всё на 3, чтобы избавиться от дроби:
[
2x = -9x + 33
]
Соберём все ( x ) в одну часть:
[
2x + 9x = 33 \quad \Rightarrow \quad 11x = 33 \quad \Rightarrow \quad x = 3
]
Теперь найдём ( y ), подставив ( x = 3 ) в любое из уравнений. Возьмём, например, ( y = \frac{2}{3}x ):
[
y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2
]
Итак, точка пересечения (и решение системы) — ( (3, 2) ).
Ответ:
Решением системы уравнений является точка ( (3, 2) ).