Решите систему уравнений: х^2+2ху-3у^2=0; 2х^2+у^2=3

Чтобы решить систему уравнений:

1. ( x^2 + 2xy - 3y^2 = 0 )
2. ( 2x^2 + y^2 = 3 )

мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Рассмотрим оба подхода:

Метод подстановки

1. Из второго уравнения выразим одно из переменных через другое. Выразим ( y^2 ): [ y^2 = 3 - 2x^2 ]

2. Подставим это выражение для ( y^2 ) в первое уравнение: [ x^2 + 2xy - 3(3 - 2x^2) = 0 ]

3. Раскроем скобки: [ x^2 + 2xy - 9 + 6x^2 = 0 ]

4. Соберём подобные члены: [ 7x^2 + 2xy - 9 = 0 ]

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными, но мы знаем связь между ( y^2 ) и ( x ). Попробуем решить это уравнение относительно ( x ) и ( y ).

Метод исключения

1. Умножим первое уравнение на 2 для удобства исключения: [ 2x^2 + 4xy - 6y^2 = 0 ]

2. Вычтем из этого уравнения второе уравнение: [ (2x^2 + 4xy - 6y^2) - (2x^2 + y^2) = 0 - 3 ]

3. Упростим: [ 4xy - 7y^2 = -3 ]

4. Выразим ( y ) через ( x ) из полученного уравнения: [ 4xy = 7y^2 - 3 ] [ 4xy = y(7y - 3) ]

Если ( y \neq 0 ), можно разделить обе стороны на ( y ): [ 4x = 7y - 3 ] [ x = \frac{7y - 3}{4} ]

Подставим это выражение для ( x ) во второе уравнение: [ 2\left(\frac{7y - 3}{4}\right)^2 + y^2 = 3 ]

1. Решим это уравнение относительно ( y ) и затем найдем ( x ).

Проверка найденных решений

Решим квадратное уравнение и найдём значения ( y ), а затем вернёмся к выражению для ( x ) и подставим найденные значения ( y ).

Итог

Эти шаги покажут, какие значения удовлетворяют обоим уравнениям. После нахождения всех возможных пар ( (x, y) ), обязательно подставьте их обратно в исходные уравнения, чтобы убедиться в корректности решений.

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения.

Давайте рассмотрим первое уравнение: x^2 + 2xy - 3y^2 = 0. Можем заметить, что это уравнение является квадратным трехчленом относительно переменной x. Для его решения можно воспользоваться методом дискриминантов или методом завершения квадрата.

Подставим значение y из второго уравнения в первое уравнение: x^2 + 2x(3-2x^2) - 3(3-2x^2)^2 = 0. После этого решим полученное квадратное уравнение относительно x.

После нахождения корней x подставим их во второе уравнение 2x^2 + y^2 = 3 и найдем соответствующие значения y.

Таким образом, найдем все решения данной системы уравнений.