Решите систему уравнений: x-y=3 2x^2-2xy+y^2=10

Чтобы решить систему уравнений:

1. ( x - y = 3 )
2. ( 2x^2 - 2xy + y^2 = 10 )

начнем с первого уравнения. Из него выразим ( y ):

[ y = x - 3 ]

Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение:

[ 2x^2 - 2x(x - 3) + (x - 3)^2 = 10 ]

Раскроем скобки:

[ 2x^2 - 2x^2 + 6x + (x^2 - 6x + 9) = 10 ]

Соберем все слагаемые:

[ 0 + 6x + x^2 - 6x + 9 = 10 ]

Упрощаем уравнение:

[ x^2 + 9 = 10 ]

Переносим 10 в левую часть:

[ x^2 - 1 = 0 ]

Теперь решим это уравнение:

[ x^2 = 1 ]

Отсюда мы получаем два возможных значения для ( x ):

[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ) для каждого найденного значения ( x ).

1. Если ( x = 1 ):

   [ y = 1 - 3 = -2 ]

   Таким образом, одна из пар решений: ( (1, -2) ).

2. Если ( x = -1 ):

   [ y = -1 - 3 = -4 ]

   Таким образом, вторая пара решений: ( (-1, -4) ).

Теперь у нас есть два решения для системы уравнений:

[ (1, -2) \quad \text{и} \quad (-1, -4) ]

Проверка:

1. Для ( (1, -2) ):

   • Первое уравнение: ( 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 ) (выполняется)
   • Второе уравнение: ( 2(1)^2 - 2(1)(-2) + (-2)^2 = 2 - (-4) + 4 = 2 + 4 + 4 = 10 ) (выполняется)

2. Для ( (-1, -4) ):

   • Первое уравнение: ( -1 - (-4) = -1 + 4 = 3 ) (выполняется)
   • Второе уравнение: ( 2(-1)^2 - 2(-1)(-4) + (-4)^2 = 2 - 8 + 16 = 2 - 8 + 16 = 10 ) (выполняется)

Таким образом, оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: Решения системы: ( (1, -2) ) и ( (-1, -4) ).

Для решения системы уравнений:

1. ( x - y = 3 ) (1)
2. ( 2x^2 - 2xy + y^2 = 10 ) (2)

Сначала выразим ( y ) из первого уравнения: [ y = x - 3 ]

Теперь подставим ( y ) во второе уравнение: [ 2x^2 - 2x(x - 3) + (x - 3)^2 = 10 ]

Упростим это уравнение: [ 2x^2 - 2x^2 + 6x + (x^2 - 6x + 9) = 10 ] [ x^2 + 9 = 10 ] [ x^2 = 1 ] [ x = 1 \text{ или } x = -1 ]

Теперь найдем соответствующие значения ( y ):

1. Если ( x = 1 ): [ y = 1 - 3 = -2 ]
2. Если ( x = -1 ): [ y = -1 - 3 = -4 ]

Таким образом, решения системы:

1. ( (1, -2) )
2. ( (-1, -4) )

Рассмотрим систему уравнений:

1. ( x - y = 3 )
2. ( 2x^2 - 2xy + y^2 = 10 )

Наша цель — найти все пары ((x, y)), удовлетворяющие этой системе.

Шаг 1: Выразим (y) через (x) из первого уравнения

Из первого уравнения ( x - y = 3 ) получаем: [ y = x - 3 ]

Теперь подставим ( y = x - 3 ) во второе уравнение.

Шаг 2: Подстановка во второе уравнение

Второе уравнение: [ 2x^2 - 2xy + y^2 = 10 ] Подставим ( y = x - 3 ): [ 2x^2 - 2x(x - 3) + (x - 3)^2 = 10 ]

Раскроем скобки: [ 2x^2 - 2x^2 + 6x + (x^2 - 6x + 9) = 10 ]

Упростим выражение: [ 2x^2 - 2x^2 + x^2 + 6x - 6x + 9 = 10 ]

[ x^2 + 9 = 10 ]

Шаг 3: Решение для (x^2)

[ x^2 = 10 - 9 ] [ x^2 = 1 ]

Решаем это уравнение: [ x = \pm 1 ]

Шаг 4: Найдём (y) для каждого (x)

Теперь подставим (x = 1) и (x = -1) в выражение (y = x - 3):

1. Если (x = 1), то (y = 1 - 3 = -2).
2. Если (x = -1), то (y = -1 - 3 = -4).

Шаг 5: Ответ

Решением системы являются две пары: [ (1, -2) \quad \text{и} \quad (-1, -4) ]