Решите систему уравнений x^2 - 3y^2 = 52 y - x = 14

x = -2, y = -8

Решим систему уравнений: [ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 52 \ y - x = 14 \end{cases} ]

Шаг 1. Выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Из уравнения ( y - x = 14 ) получаем: [ y = x + 14 ]

Шаг 2. Подставим выражение ( y = x + 14 ) в первое уравнение: [ x^2 - 3(x + 14)^2 = 52 ]

Раскроем скобки: [ x^2 - 3(x^2 + 28x + 196) = 52 ]

Раскроем и упростим: [ x^2 - 3x^2 - 84x - 588 = 52 ] [ -2x^2 - 84x - 588 = 52 ]

Перенесем 52 влево: [ -2x^2 - 84x - 640 = 0 ]

Разделим уравнение на -2 для упрощения: [ x^2 + 42x + 320 = 0 ]

Шаг 3. Решим квадратное уравнение ( x^2 + 42x + 320 = 0 ) с использованием дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac ] [ D = 42^2 - 4 \cdot 1 \cdot 320 ] [ D = 1764 - 1280 ] [ D = 484 ]

Шаг 4. Найдем корни уравнения: [ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x{1,2} = \frac{-42 \pm \sqrt{484}}{2} ] [ x_{1,2} = \frac{-42 \pm 22}{2} ]

Рассмотрим оба корня: [ x_1 = \frac{-42 + 22}{2} = \frac{-20}{2} = -10 ] [ x_2 = \frac{-42 - 22}{2} = \frac{-64}{2} = -32 ]

Шаг 5. Найдем значения y для каждого x: Для ( x = -10 ): [ y = x + 14 ] [ y = -10 + 14 ] [ y = 4 ]

Для ( x = -32 ): [ y = x + 14 ] [ y = -32 + 14 ] [ y = -18 ]

Таким образом, решения системы уравнений: [ (x, y) = (-10, 4) ] [ (x, y) = (-32, -18) ]

Ответ: [ \begin{cases} x = -10, \; y = 4 \ x = -32, \; y = -18 \end{cases} ]

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Из второго уравнения найдем значение x через y: x = y - 14

Подставим это выражение в первое уравнение: (y - 14)^2 - 3y^2 = 52 y^2 - 28y + 196 - 3y^2 = 52 -2y^2 - 28y + 144 = 0 y^2 + 14y - 72 = 0

Далее найдем корни квадратного уравнения: D = 14^2 - 41(-72) = 196 + 288 = 484 y1 = (-14 + sqrt(484)) / 2 = (-14 + 22) / 2 = 8/2 = 4 y2 = (-14 - sqrt(484)) / 2 = (-14 - 22) / 2 = -36/2 = -18

Теперь найдем соответствующие значения x: x1 = 4 - 14 = -10 x2 = -18 - 14 = -32

Таким образом, система имеет два решения: (-10, 4) и (-32, -18).